３次元と４次元は正多面体の元素数が減少する特殊な次元といえるが，そこには別のもっと深い幾何学的な事情があり，ｎ（≧５）次元正多胞体の元素数は≧３であると考えられる．その理由を述べてみたい．

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　このシリーズではこれまで直角三角錐（ＲＴ＝Δ3，ＲＰ＝Δ4，・・・）がｎ次元の正多面体の元素定理の本質をなしていることをつきとめた．３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きであろう．

　ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

［１］元素数の減少が起こる理由

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

［２］元素数の減少が起こらない理由

　５次元以上の空間では直角三角錘２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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［Ｑ］３次元では立方体から直角三角錐ＲＴを４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるが，５次元以上の空間では５次元以上の空間では正多面体にはならない．それでは芯の形はどのようになるのだろうか？

［Ａ］５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．

　すでにお気づきであろうが，

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・

すなわち，ｎが奇数の場合は

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）

ｎが偶数の場合は

　　（ｎ，０）＋（ｎ，２）＋（ｎ，４）＋・・・＋（ｎ，ｎ）

で，いずれの場合も合計２^(n-1)頂点が得られることもおわかりいただけたであろう．

　（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる（正５胞体）．頂点数は１６，４次元面の形は正５胞体となる．

　ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）は

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

の３種類だけであるから，５次元以上の空間では芯（頂点数２^n-1）は正多面体にならず，１種の準正多面体になることがわかる．

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　ついでに，６次元の場合を調べてみると，６次元立方体は６４頂点（±１，±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．６次元立方体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，±（１，１，１，１，１，１），±（１，１，１，１，−１，−１），±（１，１，１，−１，１，−１），±（１，１，１，−１，−１，１），±（１，１，−１，１，１，−１），±（１，１，−１，１，−１，１），±（１，１，−１，−１，１，１），±（１，−１，１，１，１，−１），±（１，−１，１，１，−１，１），±（１，−１，１，−１，１，１），±（１，−１，−１，１，１，１），±（１，１，−１，−１，−１，−１），±（１，−１，１，−１，−１，−１），±（１，−１，−１，１，−１，−１），±（１，−１，−１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，−１，−１，１）の合計３２頂点が得られる．これらの１６本の軸は直交しない．

　たとえ８次元であっても，２４次元であっても芯は正多面体にならず，１種の準正多面体になることがおわかりいただけるであろうか．

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［雑感］

　正多面体の元素定理の観点からすると，３次元と４次元は特殊な次元といえるが，平行多面体の元素定理の観点からは

　　２（２^n−１）＝２^n＋２ｎ

の解であるｎ＝３は最も特異な次元である．

　８次元空間と２４次元空間も特別な次元であるが，なぜそうなのかという真の理由はいまでも完全にはわかっていない．ミルナーは８＝３^2−１，２４＝５^2−１であることから，特別な次元は（素数）^2−１かもしれないと冗談交じりにいっているが，もしそれが正しいのなら２^2−１は最も特別な次元である．なぜなら２は最も特異な素数（偶数である唯一の素数）であるからである．

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