（その１８）では偶数次元（ｎ＝２ｋ）だけを扱ったが，奇数次元（ｎ＝２ｋ＋１）の場合はどうなるのだろうか？

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　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^(k+1/2)/Γ((2k+3)/2)

＝π^(k+1/2)／｛（２ｋ＋１）／２・（２ｋ−１）／２・・・√π）

＝(2π)^k／（２ｋ＋１）！！

＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

　一方，ｎ次元切頂八面体の体積は

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1

であるから，

(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！・ｒ^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1

ｒ^n＝２（４／π）^k／（２ｋ＋１）^k・Πｉ／（２ｋ＋１）　　　（ｉ＝ｋ＋１〜２ｋ＋１）

　また，

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！

＝(4π)^kｋ！／（２ｋ）！（２ｋ＋１）

に対して，ウォリスの公式を適用すると

＝π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）

　これと，ｎ次元切頂八面体の体積比較では

　　π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）・ｒ^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1

ｒ^n＝２（１６／π）^k／（πｋ）^1/2（２ｋ＋１）^k・Πｉ／（２ｋ＋１）　　　（ｉ＝１〜２ｋ）

ｒ^n＝２（４／π）^k／（２ｋ＋１）^k・Πｉ／（２ｋ＋１）　　　（ｉ＝ｋ＋１〜２ｋ＋１）

と掛け合わせると

ｒ^2n＝４（８／π）^2k／（πｋ）^1/2（２ｋ＋１）^2k・Πｉ／（２ｋ＋１）　　　（ｉ＝１〜２ｋ＋１）

ｒ^2n〜（８／πｎ）^n（πｎ）^1/2・ｎ！／ｎ^n〜（８／πｎ）^n・πｎ√２・ｅｘｐ（−ｎ）

ｒ^2＝（８／πｅｎ）・（πｎ√２）^1/n

　ここで，best fitする中接球（ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ））を考えると，

　　（πｅｎ／８）・（πｎ√２）^-1/n＝ｎ−ｊ

　　（πｅ／８）・（πｎ√２）^-1/n＝（ｎ−ｊ）／ｎ＝（１−ｊ／ｎ）

　　（πｅ／８）^n・（πｎ√２）^-1＝（１−ｊ／ｎ）^n

ｎ→∞のとき，右辺→ｅｘｐ（−ｊ）であるから，

　　−ｊ→ｎｌｏｇ（πｅ／８）−ｌｏｇ（πｎ√２）

　　−ｊ／ｎ→ｌｏｇ（πｅ／８）＝０．０６５２８７５ｎ

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［結論］

　もちろん結論は同じである．ｎ→∞のとき，

　　ｒ^2＝１／（ｎ−ｊ）→１／（１．０６５２８７５ｎ）

なる球がスターリングの公式の最良近似球になる．内接球（ｒ^2＝１／ｎ，ｊ＝０）は最適もののではないにせよ，かなりいい線をいっている近似球体である．

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