空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体を超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られます．

　今回のコラムでは，空間充填２^n＋２ｎ面体の面数の不一致を解消するために，超立方体と正軸体の「積多胞体」を導入してみます．

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［１］ｎ＝２のとき

　正方形の辺の中点を結ぶ正方形（２次元正軸体）となる．

［２］ｎ＝３のとき｛３，４｝（１，１，０）

　３次元立方体の辺の中点と面の中心の間を通る場合（あるいはその双対として正八面体の面の中心と辺の中心の間を通る場合），正方形面内に正方形（２次元正軸体）型に頂点ができる．

　また，立方体の辺の位置（正八面体の辺の位置）に１２個の辺ができ，正八面体の２次元面の位置に正八面体の２次元面の位置に正方形面を結ぶように正六角形面ができる（切頂八面体）．すなわち，積多面体においては，正八面体の辺と面，立方体の面が保存されることになる．

　　ｆ0＝（２次元正軸体の頂点数）×（３次元立方体の面数）＝４×６＝２４

　　ｆ1＝（２次元正軸体の辺数）×（３次元立方体の面数）＋（３次元正軸体の辺数）＝４×６＋１２＝３６

　　ｆ2＝（２次元正軸体の面数）×（３次元立方体の面数）＋（３次元正軸体の面数）＝１×６＋８＝１４

［３］ｎ＝４のとき｛３，３，４｝（０，１，０，０）

　４次元の超立方体の２次元面の面２４個の中心を通る場合（あるいはその双対として正１６胞体の２４本の辺の中点を通る場合），立方体の各面の中心に２４個の頂点ができる．

　立方体の内部には正八面体（３次元正軸体），また，正１６胞体の３次元面の位置には正八面体（中点切頂四面体）ができる．すなわち，積多面体においては，正１６胞体の面と３次元面，４次元立方体の３次元面が保存されることになる．

　　ｆ0＝（４次元立方体の面数）＝２４

　　ｆ1＝（３次元正軸体の辺数）×（４次元立方体の３次元面数）＝１２×８＝９６

　　ｆ2＝（３次元正軸体の面数）×（４次元立方体の３次元面数）＋（４次元正軸体の面数）＝８×８＋３２＝９６

　　ｆ3＝（３次元正軸体の３次元面数）×（４次元立方体の３次元面数）＋（４次元正軸体の３次元面数）＝１×８＋１６＝２４

［４］ｎ＝５のとき（５次元４２胞体）｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）

　５次元の超立方体の２次元面と３次元面の面の間を通る場合（あるいはその双対として５次元正軸体の辺の中点と２次元面の中心の間を通る場合），立方体の内部に正八面体型に頂点ができる．

　そして，５次元正３２胞体の４次元面の位置に４次元切頂単体があるのだが，積多面体においては，正軸体の面と３次元面と４次元面，４次元立方体の３次元面，４次元面が保存されることになる．

　　ｆ0＝（３次元正軸体の頂点数）×（５次元立方体の３次元面数）＝６×４０＝２４０

　　ｆ1＝（３次元正軸体の辺数）×（５次元立方体の３次元面数）＝１２×４０＝４８０

　　ｆ2＝（３次元正軸体の面数）×（５次元立方体の３次元面数）＋（５次元正軸体の面数）＝８×４０＋８０＝４００

　　ｆ3＝（３次元正軸体の３次元面数）×（５次元立方体の３次元面数）＋（５次元正軸体の３次元面数）＝１×４０＋８０＝１２０

　　ｆ4＝（５次元立方体の４次元面数）＋（５次元正軸体の４次元面数）＝１０＋３２＝４２

［５］ｎ＝６のとき（６次元７６胞体）｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

　６次元の超立方体の３次元面の面１６０個の中心を通る場合，３次元立方体の中心を頂点とする正１６胞体が４次元立方体の内部にできる．

　そして，５次元正３２胞体の５次元面の位置に５次元切頂単体があるのだが，積多面体においては，正軸体の３次元面と４次元面と５次元面，４次元立方体の４次元面，５次元面が保存されることになる．

　　ｆ0＝（６次元立方体の３次元面数）＝１６０

　　ｆ1＝（４次元正軸体の辺数）×（６次元立方体の４次元面数）＝２４×６０＝１４４０

　　ｆ2＝（４次元正軸体の面数）×（６次元立方体の４次元面数）＝３２×６０＝１９２０

　　ｆ3＝（４次元正軸体の３次元面数）×（６次元立方体の４次元面数）＋（６次元正軸体の３次元面数）＝１６×６０＋２４０＝１２００

　　ｆ4＝（４次元正軸体の４次元面数）×（６次元立方体の４次元面数）＋（６次元正軸体の４次元面数）＝１×６０＋１９２＝２５２

　　ｆ5＝（６次元立方体の５次元面数）＋（６次元正軸体の５次元面数）＝１２＋６４＝７６

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【雑感】

　またしても素朴な初期モデルに戻ってしまった．このモデルを導入した理由は

［１］２・３・４次元では成功したモデルであること

［２］たとえば６次元では超立方体の３次元面の面１６０個の中心を通るので，頂点数はわかるが，与えられた点に対して勝手に線を引いても空間充填２^n＋２ｎ面体は作れないこと

［３］人間の直観や勘は高々３次元までの世界ではよく働くが，高次元の世界では直観は働きにくく（あまり働かないのが通常），しかも次元が大きくなるに従い，面の配位は非常に複雑になり，わかわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくること

など，いずれにせよ，その形を構成するにはかなりの洞察力がいるからである．

　初期モデルはエレガントさを保っているのだが，これまでは失敗が続きである．初期モデルで説明しようとするところに本質的な無理があるのだろうか？

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