［１］空間充填２^n＋２ｎ面体では，ｎ次元正軸体の頂点の位置にｎ−１次元正軸体，面の位置にｎ−１次元切頂正単体がある．

［２］空間充填２^n＋２ｎ面体に対応する切頂正単体は

　　｛３，４｝（１，１，０）←→｛３｝（１，１）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）←→｛３，３｝（０，１，０）

　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）←→｛３，３，３｝（０，１，１，０）

　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）←→｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）

　切頂正単体は，それぞれ

［１］｛３｝（１，１）　　　（２次元正単体の頂点と辺の中点の間を通る場合）

［２］｛３，３｝（０，１，０）　　　（３次元正単体の辺の中点を通る場合）

［３］｛３，３，３｝（０，１，１，０）　　　（４次元正単体の辺の中点と面の中心の間を通る場合）

［４］｛３，３，３，３｝（０，０，１，０，０）　　　（５次元正単体の面の中心を通る場合）

であって，［１］が正六角形，［２］は正八面体であることがわかっています．

　３次元空間の場合，頂点との中点の間で切頂するか（浅切頂），辺の中点を通って切頂するか（中点切頂），中点を越えた位置で切頂するか（深切頂），３段階の多面体があります．正単体は自己双対図形なので本質的には２段階の変化となります．

　４次元空間では５段階の多胞体があり，正単体の場合は３段階の変化，一般のｎ次元空間では（２ｎ−３）段階の多胞体があり，正単体の場合は（ｎ−１）段階に変化します．

　今回のコラムでは［３］［４］について調べてみますが，正単体は自己双対ですから，正軸体・超立方体よりも簡単な対象と思われます．

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【１】ｎ次元正軸体の切頂

　空間充填２^n＋２ｎ面体は

［１］ｎ次元立方体を超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切頂する

あるいは

［２］ｎ次元正軸体を超平面：ｘ1＝２／ｎで切頂する

ことによって得られる．ここでは後者の場合を考えよう．

　ｎ次元正軸体（cross polytope）を切頂して，すべての辺が同じ長さの「ｎ次元切頂八面体」を作ることを考える．この多胞体は胞数２^n＋２ｎの空間充填図形となる．正軸体を切頂する場合，すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は，標準単体の座標

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の±の組み合わせで与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　Ｐ0（１，０，・・・，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　Ｐn（０，０，・・・，０）

［１］３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，すべての稜線の長さが等しくなるのは，ｚ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　→　ｘ＝２ｙ，ｙ＝ｙ，ｚ＝０　　（切頂八面体）

　点Ｐ（ｘ，ｙ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｙ

　これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，３ｙ＝１

　→　ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０

［２］４次元の場合は，ｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

　点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｚ

　これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

［３］一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｙ＝（ｎ−２）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−３）／ｓ，・・・，ｗ＝０

となることが理解される．

　正軸体の頂点をトランケートして，辺の長さが等しくなるように調整するには頂点ベクトルＰ0Ｐnに垂直なｎ次元超平面を

　　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ

で切頂すればよい（ｎ＝３のときはｘ＝２／３）．この超平面はｎが偶数のとき，点Ｐn/2-1を通る．２／ｎ＞１／ｎより，点Ｐn-1は常に保存される．

　また，ｎ次元正軸体の切頂面の中心はｘ＝２／ｎとして（ｘ，０，・・・，０）である．切頂点が浅い場合，頂点は１次元面上の点（ｘ，１−ｘ，０，・・・，０）で与えられる．ｎ＞４のとき，ｘ＜１−ｘとなるので，

［１］４≦ｎ≦６→頂点は２次元面上の点（ｘ，ｘ，１−２ｘ，０，・・・０）

［２］６≦ｎ≦８→頂点は３次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，１−３ｘ，０，・・・０）

［３］８≦ｎ≦１０→頂点は４次元面上の点（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，１−４ｘ，０，・・・０）

となる．

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【２】ｎ＝５のとき

　ｎ次元正軸体の（ｎ−１）次元胞は正単体であり，第１象限における４次元正単体は超平面ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ＝１で表される．その境界が３次元正単体である（たとえば，ｖ＝０とおくとｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１），また，２次元正単体ではｘ＋ｙ＋ｚ＝１で表される．

　　１／３＜２／５＜１／２

であるから，切断超平面ｘ＝２／５は辺の中点Ｐ1と面の中心Ｐ2の間を通り，２次元正単体の中心Ｐ2は保持される．Ｐ3も保持されるが，同時に２次元正単体ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の線分ｙ＋ｚ＝３／５も保持されるため，２次元面は六角形面をもつことになる．したがって，３次元面は切頂四面体となる．

　また，切頂面にできる３次元面は正八面体であるから，４２胞体は正八面体と切頂四面体で囲まれる図形となる．

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【３】ｎ＝６のとき

　切断超平面ｘ＝２／６＝１／３は２次元面の中心Ｐ2を通るので，２次元面は六角形面をもたず，点に退化する．３次元正単体には２次元面が４つあるので，３次元面は正四面体となることがわかる．

　また，切頂面にできる３次元面は正八面体であるから，したがって，７６胞体は正八面体と正四面体で囲まれる図形となる．

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【４】ｎ＝７のとき

　切断超平面ｘ＝２／７は２次元面の中心Ｐ2と３次元面の中心の間を通るので，４次元面は切頂四面体と正四面体に分割されることになる．また，４次元正単体には３次元面が５つあるので，切頂面にできる４次元面は正５胞体である．

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