先便で，正１２０胞体の一頂点からの距離の積が整数になりそうだと申し上げたのは私の早合点でした．　　　（一松信）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］正１２０胞体

　２乗の和が２になる数の対の積多数ですから，正２４胞体や正６００胞体のように，辺の長さが外接球の半径以上（ないし余り小さくない）場合はよいとして，正１２０胞体のように近接点の多い図形では無理でした．また，Coxeterの本にある標準座標では，外接球の半径が√８であり，計算した値を√８の累乗で割るところを誤ってしまいました．

　何回も誤って計算し直したので，まだ完全とはいえません．しかし，奇妙（？）なことに，（２，２０，０，０）を代表点にとってそこからの距離の積（２乗の積）を計算すると，頂点の族のグループごとに分母が２の累乗の有理数になりました．したがって，全体の積も分母が２の累乗の有理数であり，もしも球の半径を√２にすれば整数になります．

　途中の経過を全部お知らせ申さなければなりませんが，一応の計算で

　　長さの積＝（３^16・５^20・７^3・１１^12・１９^4・２９^5・４１^3／２^98）^2

になりました．辺長は２乗で計算しますが，個々のグループでの積は同じ距離の点は４の倍数個ずつ現れるため４乗数になるので，長さの積を計算して後から２乗した次第です．

　２，３，５以外に７，１１，１９，２９，４１といった素数が現れるのが不審でしたが，７は別として（７は距離の２乗が４／８，１２／８，２０／８，２８／８という点の組から現れる），他は√５に関連する

　　ｍ（ｍ＋１）−１　　　（ｍ＝２，３，５，６）

という形の数であることがわかりました．

　ともかくａ＋√５ｂとａ−√５ｂとがうまく対になって現れるのが奇妙でした．私の計算が本当に正しいか自信がありません．しかし，無理数が無理数がうまく打ち消すのがまことに奇妙であり，やはり正多胞体の対称性がきいていると思います．長さの積にどのような意味があるのかはともかく，一応お知らせまで．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝