前回のコラムでは

ｈ＝Ｈ／１２^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／８　　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

などと説明なしに使いましたが，

　　Ｈ＝｜ｆxx ｆxy ｜

　　　　｜ｆyx ｆyy ｜

　　Ｊ＝｜ｆx ｆy ｜

　　　　｜ｈx ｈy ｜

　２元４次形式

　　ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4

では

　　ｈ＝（ａｃ−ｂ^2）ｘ^4＋（４ｂｃ＋２ａｄ−６ｂｃ）ｘ^3ｙ＋・・・

　　ｊ＝（ａ^2ｄ−３ａｂｃ＋２ｂ^3）ｘ^6＋・・・

となります．

　そして，係数行列

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　ｑ＝｜ｂ　ｃ　ｄ｜　　　（次数３）

　　　　｜ｃ　ｄ　ｅ｜

が群ＳＬ（ｎ）のもとで不変であるという結果の重要な一般化が，ヤコビアンの値はゼロ点における不変量であることです．ヘシアンも群ＳＬ（ｎ）のもとで不変であることが示されます．

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　一般に，関数の１階偏微分行列式

　　Ｊ＝｜ｆx ｆy ｜

　　　　｜ｇx ｇy ｜

はヤコビアンと呼ばれるものであり，３変数の場合のヤコビアンは，

　　｜ｆx ｆy ｆz ｜

　　Ｊ＝｜ｇx ｇy ｇz ｜

　　　　｜ｈx ｈy ｈz ｜

と書くことができます．

　ヤコビアンはヤコビの名をとどめる行列式ですが，ヤコビが先鞭をつけた関数行列式はヘッセなどに引き継がれ，解析幾何学の面でたびたび利用され発展しました．

　ヘッセにもヘシアンという彼の名をとどめる２階偏微分行列式があり，２変数の場合は，

　　Ｈ＝｜ｆxx ｆxy ｜

　　　　｜ｆyx ｆyy ｜

３変数の場合は，

　　 ｜ｆxx ｆxy ｆxz ｜

　　Ｈ＝｜ｆyx ｆyy ｆyz ｜

　　　　｜ｆzx ｆzy ｆzz ｜

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