整数係数の２つの２元２次形式
ｆ＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2
ｇ＝ｄＸ^2＋ｅＸＹ＋ｆＹ^2
があるとする．
ｘ＝ｐＸ＋ｑＹ，ｙ＝ｒＸ＋ｓＹ （ｐｓ−ｑｒ＝１）
という変換でｆがｇに移るとき，これらは同値であると定義される．同値な２次形式は整数からなる同じ集合を表現する．
さらに，ｆの判別式ｄ＝ｂ^2−４ａｃとｇの判別式Ｄ＝ｅ^2−４ｄｆは等しい．すなわち，判別式は行列式が１の線形変換のもとで「不変式」である．
一般に，実数または複素数係数の２元ｎ次形式
ｆ＝ａｘ^n＋ｂｘ^nｰ1ｙ＋・・・＋ｃｙ^n
の変数ｘ，ｙの線形変換
Ｉ（ｄ，ｅ，・・・，ｆ）＝ｒ^kＩ（ａ，ｂ，・・・，ｃ） （ｒは実数または複素数）
によって，
ｇ＝ｄＸ^n＋ｅＸ^n-1Ｙ＋・・・＋ｆＹ^n
に変換するとき，Ｉを「不変式」と呼ぶ．
そしてケイリー，シルベスター，ゴルダンらは特別な２元形式の場合の「不変式」を見つけた（たとえばヤコビアンやヘシアン）．
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【１】２元４次形式（ケイリー）
ケイリーは２元４次形式
ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4
のユニモジュラー変換による不変式
Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2
を示し，１８５６年には判別式ｄと行列式
｜ａ ｂ ｃ｜
ｑ＝｜ｂ ｃ ｄ｜
｜ｃ ｄ ｅ｜
とがユニモジュラー変換による不変式の完全系であることを示した．
また，
ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4 （係数についての次数１）
ｈ＝Ｈ／１２^2 （Ｈはｆのヘシアン，次数２）
ｊ＝Ｊ／８ （Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）
Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2 （判別式，次数２）
｜ａ ｂ ｃ｜
ｑ＝｜ｂ ｃ ｄ｜ （次数３）
｜ｃ ｄ ｅ｜
これらの間の関係は，６次の多項式
ｊ^2＝−ｆ^3ｑ＋ｆ^2ｈＤ−４ｈ^3
で与えられる．
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【２】２元３次形式（ケイリー）
ｆ＝ａｘ^3＋３ｂｘ^2ｙ＋３ｘｙ^2＋ｄｙ^3 （係数についての次数１）
ｈ＝Ｈ／６^2 （Ｈはｆのヘシアン，次数２）
ｊ＝Ｊ／３ （Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）
Ｄ＝ａ^2ｄ^2−６ａｂｃｄ＋４ａｃ^3＋４ｂ^3ｄ−３ｂ^2ｃ^2 （判別式，次数４）
これらの間の関係は，６次の多項式
ｊ^2＝ｆ^2Ｄ−４ｈ^3
で与えられる．
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【３】２元５次形式（ケイリー・ゴルダン）
ｆ＝Σ（５，ｋ）ａkｘ^5-kｙ^kには，係数ａkについてそれぞれ４，８，１２，１８次の不変式Ｉ4，Ｉ8，Ｉ12，Ｉ18があって，その間の関係は３６次の多項式
１６Ｉ18^2＝Ｉ4Ｉ8^4＋８Ｉ8^3Ｉ12−２Ｉ4^2Ｉ12−７２Ｉ4Ｉ8Ｉ12^2−４３２Ｉ12^3＋Ｉ4^3Ｉ12^2
で与えられる．
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【４】２元６次形式（クレブシュ・ゴルダン）
ｆ＝Σ（６，ｋ）ａkｘ^6-kｙ^kには，係数ａkについてそれぞれ２，４，６，１０，１５次の不変式Ｉ2，Ｉ4，Ｉ6，Ｉ10，Ｉ15があって，その間の関係は３０個の多項式
Ｉ15^2＝Ｇ（Ｉ2，Ｉ4，Ｉ6，Ｉ10）
で与えられる．
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【５】ヒルベルトの基底定理
「基底」とはすべての不変式がそれらの線形結合として表される不変式の集合で，極小のものである．１８４６年にケイリーは２次形式の不変式を作り出す方法を考案し，１８５４年からの２５年間に次数が６以下のすべての２元形式の基底を求めた．
ｎ＝７になると言葉が一切はいらない数式が１０ページにもおよび，当時可能な水準を超えた計算がはいり込んできた．そのため，ケイリーは７次以上の２元形式は無限基底をもつだろうと予想したほどである．次元が高くなるにしたがって，不変式を記述する長さは爆発的に増える．そして不変式を全部書き下ろすことのできるのはせいぜい６次元程度までなのである．
任意の次数の２元形式に対する有限基底の存在は１８６８年，ゴルダンによって証明された．ゴルダン自身，３元２次形式や３元３次形式の基底を見いだしたが，一般の場合に有限個からなる基底が存在するかどうかはつぎの２０年間では得られなかった．
ゴルダンの基底定理の証明は計算的で難解であったが，１８８８年，ヒルベルトは２元形式に対するコルダンの結果にずっと簡単で非計算的な証明を与えた．さらに１８９０年，ヒルベルトは任意次数の変数の数も任意のどんな形式も「基底」をもつことを証明して数学界を驚かせた．
ヒルベルトは基底定理「任意個の変数の任意次数の形式はすべて有限基底をもつ」を証明したが，その抽象的かつ非構成的な証明に対し，ゴルダンは「これは数学ではない．神学だ（That is not mathematics. That is theology.）」と抗議した話は有名である．不変式論の王・ゴルダンにかくいわしめるほど斬新な証明だったというわけである．
不変式論は１８４０年代から１８８０年代にかけての代数の主要部門・根幹であったが，ワイルにいわせればヒルベルトの基底定理によりこの主題は殺された．しかしながら，２０世紀後半には数理物理学における対称法則と保存法則として力強く復活，多くの数学的福音をもたらしたのである．
Invariant theory has already been pronounced dead severel times, and like the phoenix has again and again rising from its ashes.
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