先日，一松信先生より「数研通信」を謹呈していただいたのですが，その中に掲載されていた
久末正樹「３辺の長さが等差数列をなす三角形とその面積」旭川藤女子高校
［Ｑ］３辺の長さが整数でかつ等差数列をなす三角形で，その面積が整数になるようなものは？
という問題を紹介したいと思います．
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［１］ヘロンの公式
３辺の長さをａ−ｄ，ａ，ａ＋ｄとおく（ａ＞ｄ）．ａ，ａ＋ｄ，ａ＋２ｄとするより対称性がよくなるだろう．すると，半周長ｓはｓ＝３ａ／２に簡略化され，ヘロンの公式より，その面積Ｓは
Ｓ^2＝３ａ^2（ａ^2−４ｄ^2）／１６
また，ａ^2に関する２次方程式を解くと
ａ^2＝２ｄ^2＋（４ｄ^2＋１６Ｓ^2／３）^1/2
とくに，ｄ＝０のときは正三角形で，
ａ^2＝４Ｓ／√３，ａ＝２√Ｓ／（4√３）
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［２］ペル方程式
面積が整数であるという条件から，ａ＝２ｍとおいて式を整理すると
Ｓ＝ｍ（３（ｍ^2−ｄ^2））^1/2
となる．根号の中が平数である必要があるので，
ｍ^2−ｄ^2＝３ｔ^2
ｍ^2−３ｔ^2＝ｄ^2
これはペル方程式であり，この解を合理的に出すには√３の連分数展開
√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］
を用います．１〜２は循環節（周期２）です．
あるいは，Ｑ（√３）の基本単数を求めると，
ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
すなわち，Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数ですが，その他の解は
（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３
とおいて
ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１→（２，１）
ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１→（７，４）
ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１→（２６，１５）
ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１→（９７，５６）
ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１→（３６２，２０９）
ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１→（１３５１，７８０）
ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１→（５０４２，２９１１）
ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１→（１１８１７，１０８６４）
ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１→（７０２２６，４０５４５）
ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１→（２６２０８７，１５１３１６）
一般に，ａn^2−３ｂn^2＝１でａn^2−３ｂn^2＝−１となる解は存在しません．
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ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は
±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n ｎ＝０，±１，±２，・・・
により与えられます．ペル方程式は√ｄの最良近似値を次々に生成する所以です．
Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数ですが，前述したようにその他の解は
（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３
により与えられます．
ａn+1＋√２ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）
＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）
より
ａn+1＝２ａn＋３ｂn
ｂn+1＝ａn＋２ｂn
ｃn ＝［ａn，ｂn］’ Ａ＝［ａ，ｂ］＝［２，３］
［ｃ，ｄ］ ［１，２］
とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn
ここで，ケーリー・ハミルトン方程式
Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ
より
ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn
＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn
＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn
＝４ｃn+1−ｃn
ところで，数列（ｃn＝４ａn-1−ａn-2）の特性方程式
ｘ^2−４ｘ＋１＝０
の２根を
γ＝２＋√３，δ＝２−√３
とおくと，数列の一般項は，
ｃn ＝１／２√３（γ^n−δ^n）
また，連続する２項の比は
２＋√３
に次第に近づくことになります．
ａn ＝１／２（γ^n＋δ^n）
ｂn ＝１／２√３（γ^n−δ^n）
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［３］結論
ａ＝２ｍ
Ｓ＝ｍ（３（ｍ^2−ｄ^2））^1/2
において，
ｍ ＝１／２（γ^n＋δ^n）ｄ
ｔ＝１／２√３（γ^n−δ^n）ｄ
γ＝２＋√３，δ＝２−√３
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