先日，一松信先生より「数研通信」を謹呈していただいたのですが，その中に掲載されていた

　　木村嘉宏「余弦の和と積」京都府立網野高校

を紹介したいと思います．

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［１］正弦・余弦の和公式

　等差級数

　　Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ

の値を求めるのに，逆順にして

　　Ｓ＝ｎ＋（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋１

辺同士を加えると

　　２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）

より，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　これが等差級数の和公式で，これを使うと，たとえば１から１００まで数の合計が５０５０であることが瞬時に計算できることはご存知であろう．

　この取り扱いと似た方法で，正弦の和公式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　＝ｓｉｎｎα／２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２

を証明してみよう．

（証明）

　　Ｔ＝ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　　Ｔ＝ｓｉｎｎα＋ｓｉｎ（ｎ−１）α＋ｓｉｎ（ｎ−２）α＋・・・＋ｓｉｎα

　ここで，和から積への式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ（α＋β）／２ｃｏｓ（α−β）／２

を用いると

　　２Ｔ＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｃｏｓ（１−ｎ）α／２＋ｃｏｓ（３−ｎ）α／２＋・・・＋ｃｏｓ（ｎ−３）α／２＋ｃｏｓ（ｎ−１）α／２｝

　両辺にｓｉｎα／２を掛けて，積から和への公式

　　ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α−β）｝

を用いると

　　２Ｔｓｉｎα／２

＝ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｓｉｎｎα／２＋ｓｉｎ（１−ｎ／２）α＋・・・＋ｓｉｎ（−１＋ｎ／２）α＋ｓｉｎｎα／２｝

＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２ｓｉｎｎα／２

　同様に，余弦の和公式

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ３α＋・・・＋ｃｏｓｎα

　＝ｓｉｎｎα／２ｃｏｓ（ｎ＋１）α／２／ｓｉｎα／２

も証明できる．これらの式において，α＝π／ｎとおくと

　　Σｓｉｎｋπ／ｎ＝ｃｏｔπ／２ｎ

　　Σｃｏｓｋπ／ｎ＝１

　さらに，

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ５α＋・・・＋ｓｉｎ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ^2ｎα／ｓｉｎα

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ３α＋ｃｏｓ５α＋・・・＋ｃｏｓ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ２ｎα／２ｓｉｎα

α＝π／（２ｎ＋１）とおくと，

　　Σｃｏｓ（２ｋ−１）π／（２ｎ＋１）＝１／２

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　とくに，後者に対しては三角法（座標幾何学）の代わりに複素数を使ったアプローチが考えられるところである．とりわけ複素数（複素指数関数）は有望であるように思われる．また，ｎの固定値（ｎ＝５とかｎ＝６，ｎ＝９など）に対しても証明できるが，一般的なｎの場合を扱うことにする．

　複素平面上の単位円にｎ個の頂点ｚ0＝１，ｚ1，ｚ2，・・・，ｚn-1をもつ正ｎ角形が内接しているとする．

　　ｚk＝ｃｏｓ（２ｋπ／ｎ）＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／ｎ）

ｚ0〜ｚn-1は方程式ｚ^n−１＝０の根である．また，

　　ｚ^n−１＝（ｚ−１）（ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１1）

より，ｚ1〜ｚn-1は方程式ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１＝０の根である．

　なお，

　　ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１＝（ｚ−ｚ1）（ｚ−ｚ2）・・・（ｚ−ｚn-1）

と因数分解できるが，ここでｚ＝１を代入すると

　　（１−ｚ1）（１−ｚ2）・・・（１−ｚn-1）＝ｎ

　　｜１−ｚ1｜｜１−ｚ2｜・・・｜１−ｚn-1｜＝ｎ

となって，コラム「ｎ次元正多面体の辺と対角線（その１８）」で紹介した

［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

が証明される．

　同様に，ｚ^2n+1＝１の虚数解を調べることによって，

　　Σｃｏｓ２ｋπ／（２ｎ＋１）＝−１／２

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［２］正弦・余弦の積公式

　正弦・余弦の和公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史がある．一方，和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．ここでは証明は省いたが，複素数を使って証明するのが一番の近道であろう．

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

　　Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ）

　＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）

　＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

　ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば

　　Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1)

θ＝０とおけば

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^(n-1)

また，θ＝π／２とおけば

　　Πｃｏｓｋπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎπ／２）／２^(n-1)

などを導き出すことができる．

　同様に，

　　Πｃｏｓｋπ／（２ｎ＋１）＝１／２^n

　ｃｏｓπ／３＝１／２であるから，この等式はｎ＝１の場合も成り立つ．

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