１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．

　１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？　３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．

　１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．

　４次元の場合はどうなるでしょうか？　４次元は大変難しく，２００３年になって，ようやくロシアの数学者ミュージンよりτ4＝２４であることが証明されています．

　球の接触数問題，すなわち，ｎ次元ユークリッド空間において１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題で，５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（Ｅ8格子，コクセター・トッド格子，２４０個）と２４次元（リーチ格子，１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

の６つだけなのです．

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　複数の立方体の頂点を１つの点に集める場合，正四面体とは違って，空間を埋め尽くすことができます．最大８個の立方体を集めることができますが，これでは面白くないので，１つの単位立方体に同時に面接触することのできる単位立方体の最大個数（面接触数）について考えてみます．

　立方体の話にはいる前に，まず，正方形のブロック積みを考えてみましょう．３つの正方形が１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべての正方形はは周りの６つの正方形に接することがわかります．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っています．

　次に，立方体の場合を調べてみます．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目の立方体のすべての頂点を２段目の立方体で覆うようにずらして積み重ねると，１段目の立方体の上には４つの立方体が載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４の立方体に接することになります．（球の接触数１２よりも多い）．

　３次元では１４の立方体に接触できることはわかりましたが，それでは４次元，５次元，・・・，ｎ次元ではどうなるのでしょうか？　これを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろうと思います．そこで証明抜きで次元論の敷石定理について解説すると，最大２（２^n−１）個接触することができます．すなわち，２次元では６個，３次元では１４個，４次元では３０個（超球の接触数２４よりも多い），５次元では６２個，６次元では１２６個となるのです．

　一方，立方体の単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについては説明するまでもありませんが，面接触数を数えると６，一般にｎ次元立方体では２ｎになります．それでは点接触数，辺接触数も加えたらどうなるでしょうか？　正方形を囲型に配置する場合は８，立方体では２６，ｎ次元立方体では３^n−１になります．

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