（その７１）では置換多面体のｆ2公式を求めたが，ｆ3〜ｆn-1公式も芋づる式に得ることができるだろうか？

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【１】置換多面体の逐次構造

［１］４次元置換多面体では，正５胞体の５頂点に切頂八面体が配置されている．正５胞体の胞に配置されたところには新たに５個の切頂八面体ができる．

［２］５次元置換多面体では，正６胞体の６頂点に４次元置換多面体が配置されている．６個の４次元置換多面体の３次元面数の合計は３０個×６＝１８０である．このうち正６胞体の胞に配置された６カ所は４次元置換多面体（共面）となるので，新たに５個の３次元面ができる．また，正６胞体の辺に配置された１５カ所には新たに切頂八面体柱の側面（１４面）×１５＝２１０個の３次元面ができるので，合計１８０＋３０＋２１０＝４２０となる・・・（ＮＧ，正解は５４０）．

［３］６次元置換多面体では，正７胞体の７頂点に５次元置換多面体が配置されている．７個の５次元置換多面体の３次元面数の合計は５４０面×７＝３７８０である．このうち正７胞体の胞に配置された７カ所は５次元置換多面体（共面）となるので，新たに３０個の３次元面ができる．また，正７胞体の辺に配置された２１カ所には新たに４次元置換多面体柱の側面（１５０面）×２１＝３１５０個の３次元面ができるので，合計３７８０＋２１０＋３１５０＝７１４０となる．・・・（ＮＧ，正解は８４００）．

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【２】置換多面体のｆ3公式　　　（ｎ≧５）

　まことに申し訳ないが，この齟齬の意味を私は述べられない．

　　ｆ3^(n)＝n+1Ｃ1ｆ3^(n-1)＋n+1Ｃ2ｆ2^(n-2)＋（ｎ＋１）！／４！

の形を想定していたのだが，ｆ3公式はそんなに単純なものではないのかもしれない．まだまだ勉強不足ということだろう．

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