［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

　したがって，辺と対角線の長さの平方の積は頂点数の２乗に等しい．たとえば，ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→平方の積＝（√３）^4＝９．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→平方の積＝（√２）^4・２^2＝１６．

　それでは，正多面体が半径１の球に内接しているとき，すべての辺と対角線の長さの平方の積を求めることにする．

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　ある頂点におけるＬjの本数をＮj，正多面体の頂点数をＶとする．外接球の半径をｒとした場合，単位球に換算するための補正項をＫとおくと，

　　Ｋ＝１／ｒ^2

　　Ｑ＝Π（√ＫＬj）^（２Ｎj）＝Ｐ^2

で与えられるので，すべての辺と対角線の長さの積Ｐの平方になるだけのことである．

【１】正四面体　　　：Ｑ＝１８．９６４≠Ｖ^2

【２】立方体　　　　：Ｑ＝１７９．７９７≠Ｖ^2

【３】正八面体　　　：Ｑ＝６４≠Ｖ^2

【４】正十二面体　　：Ｑ＝４５４０８．５≠Ｖ^2

【５】正二十面体　　：Ｑ＝１３４２．１８≠Ｖ^2

【６】正５胞体　　　：Ｑ＝３９．０６２４≠Ｖ^2

【７】正８胞体　　　：Ｑ＝２０７３６≠Ｖ^2

【８】正１６胞体　　：Ｑ＝２５６≠Ｖ^2

【９】正２４胞体　　：オーバーフロー

【１０】正６００胞体：オーバーフロー

【１１】正１２０胞体：オーバーフロー

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