平行体の体積は行列式（グラミアン）で与えられる．ゾノトープの体積は平行体に分解して，平行体の体積がグラミアンで与えられることを用いればよい．
とはいえ，置換多面体およびその２^n胞体系についての効率的な体積計算法は十中八九ないと思われる．地道に計算を続行するしかない．正軸体の場合は省略して，正単体の場合の計算方法だけを述べると以下のようになる．
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【１】正単体の基本単体の切断
ｎ次元正単体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）
Ｖ1（１，０，・・・，０，０）
Ｖ2（０，１，・・・，０，０）
・・・・・・・・・・・・・・
Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）
から生成される．これらの頂点間距離は√２である．
その際，０次元面〜ｎ次元面の中心は
｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖr｝
から生成されるので，
Ｐ0（１，０，０，・・・，０）
Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）
Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）
Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）
Ｐn（１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
原始的平行多面体の元素を求めるには，ｎ次元正単体の基本単体を辺に垂直なｎ次元超平面で切断すればよいことがわかるだろう．そして，最終的に頂点となるのはＳ＝ｎ（ｎ＋１）／２として
Ｑ＝（ｎ／Ｓ，（ｎ−１）／Ｓ，（ｎ−２）／Ｓ，・・・，０）
である．
ＰnＰ0＝（１−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ＰnＰ1＝（１／２−１／（ｎ＋１），１／２−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ＰnＰn-2＝（１／（ｎ−１）−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，この超平面をａ・ｘ＝ｃで表すと
ｃ＝ｎ／２Ｓ
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ｃ＝（ｎ−１）／２Ｓ
ＰnＰn-2に垂直なｎ次元超平面では
ｃ＝２／２Ｓ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，この超平面をａ・ｘ＝ｃで表すと
ｃ＝ｎ／２Ｓ
であることは前述したとおりであるが，この超平面は点Ｐ1は通らない．また，この超平面と辺Ｐn-1Ｐ0との交点は
Ｐn-1Ｐ0＝（１−１／ｎ，−１／ｎ，・・・，−１／ｎ，０）
より，
ｘn+1＝０
（ｘ1−１）／（１／ｎ−１）＝ｘ2／（１／ｎ）＝・・＝ｘn／（１／ｎ）＝ｋ
を
（１−１／（ｎ＋１））ｘ1−１／（ｎ＋１）（ｘ2＋・・＋ｘn+1）＝ｎ／２Ｓ
に代入すると求めることができる．
具体的には計算しないが，この操作によって，基本単体の各辺とはＰn-1Ｐnを除くｎ箇所で交わることになる．これらと中心を結ぶベクトルを｛ｖ1，・・・，ｖn｝，点Ｑと中心を結ぶベクトルをｖ0とする．
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【２】体積とグラミアン
２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，
Ｓ^2＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
同様に，平行六面体の体積は
Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜
で与えられます．
これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．
また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｖ0を中心とするベクトル配置Ｖ＝｛ｖ0，ｖ1，・・・，ｖn｝に対して，その体積は（ｎ＋１，ｎ）個の項をもつ
ｖｏｌ（Ｖ）＝１／ｎ！・Σ｜ｄｅｔ（ｖ0，・・・，ｖr）｜
で与えられる．
置換多面体ではこの（ｎ＋１）！倍
（ｎ＋１）・Σ｜ｄｅｔ（ｖ0，・・・，ｖr）｜
２^n胞体系では２^nｎ！倍
２^n・Σ｜ｄｅｔ（ｖ0，・・・，ｖr）｜
が求める体積となる．
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