スターリングの公式の図形的証明では，直角三角錐ＲＴ，ＲＰ，・・・（体積ｎ！）を立方体（体積ｎ^n）で，あるいはｎ次元切頂八面体をｎ次元超球で近似させることによって，

　　ｎ！／ｎ^n〜ｃｆ（ｎ）

を得てきた．たとえば，正軸体と切頂正軸体の体積比較によって

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ≦２（１／２）^k

正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較によって

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ〜２（π／８）^k

が得られた．さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ〜２（１／ｅ）^k

が示される．

　スターリングの公式は，ｎがおおきくなるにつれて

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）ｅｘｐ（−ｎ）

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

であるから，ここまでくればスターリングの公式に非常に接近した値が得られたことになる．

　さらに√（２πｎ）をウォリスの公式

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

に頼らず，図形的に得ることはできないだろうか？

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　１象限分の直角三角錐の体積は１／ｎ！である．

ｎ次元切頂八面体の体積：１／２・（２／ｎ）^n

切頂した分の体積　　　：（１−２／ｎ）^n・ｎ／ｎ！

として，

　　１／ｎ！〜（１−２／ｎ）^n・ｎ／ｎ！＋１／２・（２／ｎ）^n

　　１／ｎ！・｛１−ｎ（１−２／ｎ）^n｝〜１／２・（２／ｎ）^n

ここで，

　　ｎ！／ｎ^n〜２（１／ｅ）^n

であるから，｛１−ｎ（１−２／ｎ）^n｝が√ｎのオーダーであればよい．

　ｎ→∞のとき，（１−２／ｎ）^n→１／ｅ^2であるから，

　　｛１−ｎ（１−２／ｎ）^n｝→−∞

　どうも切頂した分の体積を引きすぎているようであるが，√ｎのオーダーにはなりそうもない．

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