【１】素数もいろいろ（その２）

［１］ヴィーフェリッヒ素数

　フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となるが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがある．そのとき，ｐをヴィーフェリッヒ素数という．ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られている．

　なお，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られている．

［補］ヴィーフェリッヒの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である．

　　（２^(p-1)−１）／ｐ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Wieferich判定基準

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［２］正則素数

　正則素数ｐはＢp-3までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

　また，ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

正則素数の密度はexp(-1/2)．正則素数が無限個あることはいまだ証明されていない．一方，イェンゼンは非正則素数が無限個あることを証明した．

　マッキントッシュはベルヌーイ数Ｂp-3の分子を割り切る素数はウォルステンホルム素数であることを示した．ウォルステンホルム素数でいまのところ既知のものは１６８４３と２１２４６７９だけで，ｐ＝１６８４３，２１２４６７９はＢp-3の分子を割り切るのである．

［補］クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

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【２】合同数

　合同数は連立不定方程式

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が同時解をもつ，あるいは

　　ｘ^4−Ａ^2ｙ^4＝ｕ^2

が解をもつような整数として定義される．

　２つの方程式をかけると

　　（ｚｗｘ／ｙ^3）^2＝（ｘ^2／ｙ^2）^3−Ａ^2（ｘ^2／ｙ^2）

を得る．

　合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘ＝ｘ（ｘ＋Ａ）（ｘ−Ａ）

　　Ａは合同数←→ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘは無限個の有理点をもつ

との関連については

　　　J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版

などを参照していただきたいのであるが，わかっていることをまとめると，

［１］Ａが分離的数の場合，

　　　Ａ＝１，Ａ＝２→自明解のみ

　　　Ａ＝３（ｍｏｄ８）→自明解のみ

　　　Ａ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

Ａ＝１，２（ｍｏｄ８）→どちらの場合もある

　Ａが分離的とはｐ^2｜Ａなる素数ｐがないこと，すなわち，Ａ＝±ｐ1ｐ2・・・ｐn，ｐi≠ｐjと因数分解されることである（Ａ＝±１は分離的，Ａ＝１は平方数であり分離的数である唯一の整数）．

　ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）→非自明解がある

という予想は，ＢＳＤ予想からも自然にでてくるものであるという．

［２］非自明解がある場合，

　　Ａｃ^2＝ａｂ（ａ^2−ｂ^2）　　（ａ，ｂ）＝１，ａ≠ｂ（ｍｏｄ２）

を満足するａ，ｂ，ｃに対して，

　　ｘ＝（ａ^2＋ｂ^2，２ｃ，ａ^2−ｂ^2＋２ａｂ，ａ^2−ｂ^2−２ａｂ）

は非自明解を与える．

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【３】合同数の判定アルゴリズム

　Ａ＝１，２，３，４は合同数ではなく，Ａ＝５，６，７は合同数であるが，与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定する手順については，タネルの定理（１９８３）

　「Ａを平方因子をもたない正の奇数とすると，Ａが合同数ならば

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数は，２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数の２倍に等しい．（ＢＳＤ予想が正しいならば逆も成立する．）」

　たとえば，Ａ＝１０１（合同数）の場合，Ａ＝５（ｍｏｄ８）であるが，

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａ→０組

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａ→０組

非自明解そのものを与えることはできないものの，合同数か否かの判定は可能である．

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【４】おまけ

　　３！−２！＋１！＝５（素数）

　　４！−３！＋２！−１！＝１９（素数）

　　５！−４！＋３！−２！＋１！＝１０１（素数）

　　６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝６１９（素数）

　　７！−６！＋５！−４！＋３！−２！＋１！＝４４２１（素数）

　　８！−７！＋６！−５！＋４！−３！＋２！−１！＝３５８９９（素数）

　このような素数は有限個であることがジュヴコヴィッチにより証明されている．

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