スターリングの公式にはπが出現しますが，単体，正軸体あるいは立方体の球体近似によって，スターリングの公式を図形的に証明することはできないでしょうか？
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【１】ガンマ関数
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt x>0
この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．
Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1
Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt
ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)exp(-u^2/2)du=√π/2（ガウス積分）より
Γ(1/2)＝√π
が得られます．
オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，
Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）
の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．
Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････
したがって，ｘが正の整数ｎのときには
Γ（ｎ＋１）＝ｎ！
が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．
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【２】ガンマ関数と超球との関係
ガウス積分をｎ次元に拡張し，
I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn
を考えると∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√πのｎ重積分より，直ちに
I=π^(n/2)
を得ることができます．
ｎ次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．
ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^n-1ですから，
I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^n-1dr
=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr
z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより
I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz
=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)
=ＶnΓ(n/2+1)
したがって，
Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
を得ることができます．この結果は，形式的に
Ｖn=π^(n/2)/(n/2)！
と書くことができます． Γ(m+1)=m!
これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積は
Ｖnｒ^n=(πr^2)^(n/2)/Γ(n/2+1)
となります．
ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
Ｖn 2 3.14 4.19 4.93 5.263 5.167 4.72 4.06 3.30 2.55
（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）
Ｖn-1がわかればＶnは漸化式：
Ｖn/Ｖn-1=Γ（1／２）Γ｛（ｎ+１）／２｝／Γ（ｎ／２+1）=B(1/2,(n+1)/2)
によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式
Ｖn/Ｖn-2=2π/n
を用いると任意のｎに対して
ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!
ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!
とも書けることも理解されます．
ｎ→∞のとき
Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０
Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０
ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．
また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．
なお，比Ｖn-1/Ｖn-2=B(1/2,n/2)は自由度ｎのｔ分布の定数であり，実際，フィッシャーはｎ個の観測値の標本平均と母平均の差（距離）を標本標準偏差で割った統計量ｔの分布をｎ次元ユークリッド空間を使って導きだしています．
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【３】ウォリスの公式
1/2B(1/2,(n+1)/2)=integral(0-π/2)(sinθ)^ndθ
この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式
Ｓn=(n-1)/nＳn-2
が得られますから，
n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2
n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)
これより，
lim1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)
変形するとウォリスの公式
(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)
が得られる．
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