（その２）では

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

であることを証明できた．

　スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

は面白い公式で，たとえば，

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかるだろう．

　あるいは

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

より，ｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／２に近いといったほうがいいかもしれない．

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　さて，オイラーの問題「ｘが［ｅ^(-e)，ｅ^(1/e)］＝［０．０６５９・・・，１．４４４６・・・］の間にあるとき，ｙ＝ｘ^x^x^x^x･･･（ｘのｘ乗のｘ乗のｘ乗の・・・）はある極限に近づく」に戻ろう．

　阪本ひろむ氏より，数値実験の結果が届いた．それによると

［１］０＜ｘ＜１のとき，ある値のまわりを振動しつつ収束しているように思われる．

［２］したがって，０＜ｘ＜１（収束は遅いが）収束するのではなかろうか？

［３］関数ｆ（ｘ）がｘ＝０の近くまで特異点がないのはなぜだろう．ｅ^(-e)という値の特別な意味がわからない．

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【雑感】

　ａ＝ｅ，ｂ＝１／ｅとおくと，オイラー関数ｙ＝ｘ^x^x^x^x･･･（ｘのｘ乗のｘ乗のｘ乗の・・・）の定義域は［ｅ^(-e)，ｅ^(1/e)］＝［（１／ｅ）^e，ｅ^(1/e)］＝［ｂ^a，ａ^b］で表される．

　特別な意味をもっている可能性がある．ところで，（その４）において，

　　ｙn’／ｙn＝−１／（ｘｌｏｇｘ）

ｌｏｇ｜ｌｏｇｘ｜は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数であるから

　　ｌｏｇｙn＝−ｌｏｇ｜ｌｏｇｘ｜

がでてきたが，何か関係はないのだろうか？

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