コラム「シュタイナー数とシュタイナー点」で紹介した問題「ｙ＝ｘ^1/xはｘ＝ｅのとき最大値ｙ＝１．４４４６・・・をとる．」は等周問題（ディドーの問題）で知られる１９世紀のスイス人数学者シュタイナーの出題した問題であるが，離散型不等式であるスターリング型不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

の連続版のようなものと考えることができる．

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【１】証明

　シュタイナーの関数を

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^1/x＝ｅｘｐ（ｌｏｇｘ／ｘ）＝ｅｘｐ（ｇ（ｘ））

とかけば，

　　ｙ’＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)

　１階微分ｙ’＝０となるのはｘ＝ｅのときだけで，２階微分ｙ”を求めればｘ＝ｅは最大値を与えることがわかる．

　　ｙ”＝（−３＋２ｌｏｇｘ）／ｘ^3

　　（−３＋２ｌｏｇｅ）／ｅ^3＜０

　あるいは，数値計算によって

　　ｆ（１）＝１

　　ｆ（２）＝２^1/2＞ｆ（１）

　　ｆ（３）＝３^1/3＞ｆ（２）

　　ｆ（４）＝４^1/4＝２^1/2＝ｆ（２）

より，

　　ｆ（１）＜ｆ（２）＜ｆ（３）＞ｆ（４）

ｆ（ｘ）は２と４の間にあるｘに対して最大になる．そしてｘ＝ｅのとき最大値ｙ＝１．４４４６６４７８６１・・・（シュタイナー数）を与えることがわかる．

　また，

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

について

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となるが，

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

のグラフを描いてみればｇ（ｘ）は幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

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【２】別証

　ｘ≧０について，ｅ^x≧ｘ^eが成り立つ．　　（等号はｘ＝ｅのとき）

（証）ｙ＝ｘ^eｅ^-x　　（ｘ≧０）とする．

　　ｄｙ／ｄｘ＝（ｅｘ^e-1−ｘ^e）ｅ^-x

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝（ｅ（ｅ−１）ｘ^e-2−２ｅｘ^e-1＝ｘ^e）ｅ^-x

よりｘ^eｅ^-x≦１．　　（ｘ＝ｅのときｙ＝１）

　なお，ｙ＝ｘ^eｅ^-xのグラフはα＝ｅ＋１，β＝１のガンマ分布の確率密度関数（の定数倍）になる．

　　α＝ｅ＋１，β＝１

　　mean=ｅ＋１，variance=ｅ，mode=ｅ

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【３】（０．９９）^99と１／（１．０１）^101はどちらが大きいか？

　ｅ^π＞π^eの場合よりも，両者はかなり接近した値をとるだろう．比較にはいろいろな解法が知られているが，

　　（１＋１／ｎ）^n　→　ｅ

が増加数列であることを使ってみたい．

　逆数をとると

　　（０．９９）^-99＝（１＋１／９９）^99

　　（１，０１）^101＝（１＋１／１００）^101＞（１＋１／１００）^100

よって，

　　（０．９９）^99＞１／（１．０１）^101

　逆数の対数をとって

　　ｌｏｇ（０．９９）^-99＝９９ｌｏｇ（１＋１／９９）

　　ｌｏｇ（１，０１）^101＝１０１ｌｏｇ（１＋１／１００）＞１００ｌｏｇ（１＋１／１００）

として，関数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ（１＋ｘ）／ｘが減少関数であることを示してもよい．

　　［参］平松豊一「初等数学アラベスク」牧野書店

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