正四面体を切頂する場合，
［１］辺心に達するまで：切頂四面体
［２］辺心 ：正八面体
［３］辺心から面心の間：切頂四面体の形
［４］面心 ：正四面体
となる．
原始的平行多面体の元素を求めるには，ｎ次元正単体の基本単体を辺に垂直なｎ次元超平面で切断すればよいのだが，その際，必ずしも切頂でなく，場合によっては切稜や胞に平行に切った形など，正多胞体を切断することを考える．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】正単体の切断による原始的平行多面体
平行２（２^n−１）面体の元素を設計する場合，置換多面体（permutahedron）を考えるのが有効であると思われる．２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体で，それぞれ｛３｝（１，１），｛３，３｝（１，１，１）で，１番目の１は切頂，２番目の１は切稜，３番目は切面に対応している．
形状ベクトルから縮退（contraction）しないことがわかる．すなわち，面数は
Σ（ｎ＋１，ｋ）＝２（２^n−１）
であって，
２次元置換多面体：｛３｝（１，１）→六角形
３次元置換多面体：｛３，３，３｝（１，１，１）→１４面体
同様に，
４次元置換多面体：｛３，３，３｝（１，１，１，１）→３０胞体
５次元置換多面体：｛３，３，３，３｝（１，１，１，１，１）→６２胞体
６次元置換多面体：｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）→１２６胞体
である．
このことはＰ0，Ｐ1，・・・，Ｐn-1をすべて切断することを意味している．（その４１）において，どの頂点を切頂しどの辺を切稜するのか問題になった．そこでは，Ｐ2を切断すると基本単体の間に隙間を生じてしまうという理由から
［１］Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐn-2をすべて切断する
［２］Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐ［（ｎ−１）／２］を切断する
［３］Ｐ0を切頂し，Ｐ1を切稜する
の［３］を採用したのだが，本来は［１］が正しいようである．しかし，正単体の自己双対性から［２］だけで鏡映体を作ることができる．高次元の落とし穴にはまってしまったのである．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】ｎ次元正単体の基本単体の切断
ここまでくれば（その２２）で行った「ｎ次元立方体の基本単体の切断」の議論『基本単体の半切体の胞数を数えるだけならば，座標にこだわらず，ｎ次元単体（図形としてはすべての頂点が直接結ばれている完全グラフ）を切半したと考えてよい．ｊ次元胞（ｊ＝０，１，・・・，ｎ）の中心に相当する点をＰjとするが，切半体はこれを半分ずつに分ける．すなわち，ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のときは｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk，Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝というｋ個ずつに，ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のときは中央のＰkを通り｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝のｋ個ずつの組に分ける．したがって，２ｋ−１次元のときに，中央の頂点Ｐkに関する補正を加えればよい．』とまったく同じものになることがわかる．
すなわち，偶数次元では中央のＰkを通り，奇数次元では中央の胞を二等分する．その結果，二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは
［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，
ｆj＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）
ｆ0＝ｋ^2＋ｋ
ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２
［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，
ｆj＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）
ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１
ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２
２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）
３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）
４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）
５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）
６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）
７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】まとめ
［１］ｎ次元立方体の基本単体の切断体
［２］ｎ次元正単体の基本単体の切断体
はプロポーションは異なるが，いずれも胞数（ｎ＋２）の多胞体である（２次元では３角形）．３次元では［１］［２］は同形となる．
［１］は２・２^n・ｎ！個で立方体（２ｎ面体），［２］は２・（ｎ＋１）！個で平行２（２^n−１）面体を構成することができる．３次元では［１］［２］は同形であったが，任意のｎ次元では［１］から平行２（２^n−１）面体を，［２］から立方体を構成できるかどうかは不明である．いずれにせよ，その形を構成することができるかどうかを理解するにはかなりの洞察力がいるようだ．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝