［参］石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに対する研究」
の考察はすばらしいの一言につきる．このような立派な研究が行われていたことをまったく知らなかったことを恥じ入るばかりである．
なお，ここでは立方体の切頂ばかりを取り上げるが，
［参］石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに対する研究」
には正四面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，４次元正２４胞体，その他に対する結果も掲載されていることを申し添えておきたい．
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【１】３次元立方体の切頂
３次元立方体の切頂では
［１］辺心に達するまで：切頂六面体
［２］辺心 ：立方八面体
［３］辺心から面心の間：切頂八面体の形
［４］面心 ：正八面体
［０］頂点を通る場合 ：｛３，４｝（０，０，１）
［１］辺の中点を通る場合：｛３，４｝（０，１，０）
［２］面の中心を通る場合：｛３，４｝（１，０，０）
であって，また［１］と［２］の中間に
［３］切頂八面体｛３，４｝（１，１，０）
があることになる．形状ベクトルから縮退（contraction）情報を求めると
［０］（０，０，１）→（１，０，０）
［１］（０，１，０）→（１，０，１）
［２］（１，０，０）→（０，０，１）
［３］（１，１，０）→（１，０，１）
また，原正多胞体である正八面体｛３，４｝のｆベクトル
ｆ＝（６，１２，８）
から胞数を求めることができて，それぞれ
［０］６
［１］６＋８＝１４
［２］８
［３］６＋８＝１４
面体が得られることになる．
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【２】５次元立方体の切頂
［０］頂点を通る場合 ：｛３，３，３，４｝（０，０，０，０，１）
［１］辺の中点を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，０，０，１，０）
［２］面の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，０，１，０，０）
［３］胞の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，１，０，０，０）
［４］４次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（１，０，０，０，０）
また，
［５］１６２胞体｛３，３，３，４｝（１，１，１，１，０）
は［３］と［４］の中間にあるのではない．
形状ベクトルから縮退（contraction）情報を求めると
［０］（０，０，０，０，１）→（１，０，０，０，０）
［１］（０，０，０，１，０）→（１，０，０，０，１）
［２］（０，０，１，０，０）→（１，０，０，０，１）
［３］（０，１，０，０，０）→（１，０，０，０，１）
［４］（１，０，０，０，０）→（０，０，０，０，１）
［５］（１，１，１，１，０）→（１，１，１，０，１）
また，原正多胞体である正１６胞体｛３，３，３，４｝のｆベクトル
ｆ＝（１０，４０，８０，８０，３２）
から胞数を求めることができて，それぞれ
［０］１０
［１］−［３］１０＋３２＝４２
［４］３２
［５］１０＋４０＋８０＋３２＝１６２
胞体が得られることになる．
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【３】６次元立方体の切頂
［０］頂点を通る場合 ：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，０，０，１）
［１］辺の中点を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，０，１，０）
［２］面の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，１，０，０）
［３］胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）
［４］４次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，１，０，０，０，０）
［５］５次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（１，０，０，０，０，０）
また，
［６］１６２胞体｛３，３，３，３，４｝（１，１，１，１，１，０）
は［４］と［５］の中間にあるのではない．
形状ベクトルから縮退（contraction）情報を求めると
［０］（０，０，０，０，０，１）→（１，０，０，０，０，０）
［１］（０，０，０，０，１，０）→（１，０，０，０，０，１）
［２］（０，０，０，１，０，０）→（１，０，０，０，０，１）
［３］（０，０，１，０，０，０）→（１，０，０，０，０，１）
［４］（０，１，０，０，０，０）→（１，０，０，０，０，１）
［５］（１，０，０，０，０，０）→（０，０，０，０，０，１）
［６］（１，１，１，１，１，０）→（１，１，１，１，０，１）
また，原正多胞体である正３２房体｛３，３，３，３，４｝のｆベクトル
ｆ＝（１２，６０，１６０，２４０，１９２，６４）
から胞数を求めることができて，それぞれ
［０］１２
［１］−［４］１２＋６４＝７６
［５］６４
［６］１２＋６０＋１６０＋２４０＋６４＝５３６
胞体が得られることになる．
６次元立方体の基本単体の半切体は３次元面の中心を通るから，１２房体以外に７６房体も作ることができる．
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【４】補足
正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのです．
この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．それに対して，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．
なお，正２４胞体による空間充填は４次元独特の充填形です．正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，正２４胞体による４次元空間充填形は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているのですが，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．
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