［Ｑ］置換多面体のすべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？

に引き続き，

［Ｑ］置換多面体の２（２^n−１）個のファセットを定めている不等式を求めよ

を考えてみたい．

　原始的平行多面体は２ΣnＣr＝２（２^n−１）個のファセットで囲まれているが，ファセットを定めている不等式は，一般に

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　一般に，超平面ａ・ｘ−ｃ＝０と点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点から超平面までの距離は

　　｜ｃ｜／‖ａ‖

となる．

　ところで，

　　［参］宮崎興二・石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」京都大学学術出版会

によれば，準正多胞体による４次元空間充填図形として

　　［ａ］正５胞体系{3,3,3}(1,1,1,1)・・・・３０胞体

　　［ｂ］正１６胞体系{3,3,4}(1,1,1,0)・・・４８胞体

があるというが，それらはａ，ｃを変化させて図形を描いたものである．

　私には正５胞体系{3,3,3}の描き方がわからなくて困っている．原点からでなく，正単体の中心から各頂点に向かうベクトルを考えれば原始的平行多面体が得られるのであろうか？

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【１】正１６胞体系{3,3,4}？

　切半超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２でもって切断した超立方体の基本単体の切半体は大変複雑な形になる．奇数次元の場合と偶数次元の場合とでも，中央の次元の頂点（４次元の場合（１，１，０，０））を通るか，それとも頂点を通らないかの差が生じる．いずれにせよ，基本単体の切半体からその形を構成するにはかなりの洞察力がいるようだ．

　そこで，ｎ次元の立方体の全頂点からは一斉に２^n個切り落として残る図形を考えてみよう．

　（±１，±１，±１）を頂点とする立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ＝３／２で表される８枚の平面で切った残りは，頂点の座標（±１，±１／２，０）の±のすべての組み合わせとすべての置換，合計２４個を計算してみると，正確に切頂八面体になることがわかる．

　（±１，±１，±１，±１）を頂点とする４次元超立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ±ｗ＝２で表される１６枚の超平面で切った残りは，正２４胞体になる．

　しかし，これらはむしろ偶然の幸運であって，５次元以上ではかなり複雑な図形となるようである．

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［補］超平面

　ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａ・ｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

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