これまで，平行多面体の元素を設計する場合，立方体の基本単体を超平面｜ｘ1｜＋・・・＋｜ｘn｜＝ｎ／２で切頂した多面体を考えてきたが，４次元以上の空間では，置換多面体（permutahedron）を考えるのが有効であると思われる．

　２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．置換多面体はｖn＝（ｎ＋１）！個の頂点とｃn＝２（２^n−１）個のｎ−１次元胞をもつ．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体である．

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【１】置換多面体の計量

　ｖn＝（ｎ＋１）ｖn-1

は頂点の次数がｎであることを意味している．一方，

　ｃn＝２ｃn-1＋２＝２（ｃn-1＋１）

　ｃn＋２＝２（ｃn-1＋２）

はどうだろうか？

　「ハノイの塔」に類似した漸化式であるが，

　ｃn＝２（ｃn-1＋１）

は，ｎ−１次元置換多面体の周りにｃn-1個の胞を配置して，それを表と裏に一対置いて両者を繋いだ平行多面体と解釈することができる．

　さらに，

［Ｑ］すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？

という問題を考えてみよう．

　たとえば，３次元の場合，外接球（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１）面上にｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｚ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離が等しいときである．

　　ｚ＝（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　残りの点は点Ｐの鏡映から得ることができるが，これでできあがるのは２６面体［４，６，８］であって，切頂八面体［４，６，６］ではない．次回の宿題としたい．

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