調和級数

　　Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．

　調和級数は何世紀にもわたって収束するものと誤って考えられていたのですが，１４世紀，オレームが調和級数は発散することを証明しました．調和級数が発散することは容易に示すことができます．

　１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

　１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

　・・・・・

したがって，

　　Ｈ∞＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞

　１兆項でも約２８．２にしかならないわけですから，調和級数の部分和を１００にするには１０^43項，１０００にするには１０^434項まで加算する必要があるそうです．

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　調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散することはわかりました．

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

　それと関連して，ｙ＝１／ｘの回転体である「トリチェリのラッパ」の表面積は無限大であるが，体積は有限であることを示すことができます．

　　１／１^3＋１／２^3＋１／３^3＋１／４^3＋・・・→１．２０・・・

　「トリチェリのラッパ」のパラドックスは，ゼウスの漏斗，ガブリエルのホルンともよばれることがあるのですが，体積有限・表面積無限の例として，同様に

　　１／√１＋１／√２＋１／√３＋１／√４＋・・・→∞

　　１／１√１＋１／２√２＋１／３√３＋１／４√４＋・・・→２．６１・・・

も容易に示すことができます．

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