［問］２次の正方行列でＸ^2＝−Ｅを満たすものは，複素数の範囲では
［ｉ，０］
［０，ｉ］
などがある．実数の範囲でも解は無数にある．その解をすべて求めよ．
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【１】Ｘ^2＝Ｅの解
Ｘ＝［ａ，ｂ］
［ｃ，ｄ］
とおくと，
Ｘ^2＝［ａ^2＋ｂｃ，（ａ＋ｄ）ｂ］＝［１，０］
［（ａ＋ｄ）ｃ，ｄ^2＋ｂｃ］ ［０，１］
より
ａ^2＋ｂｃ＝１，（ａ＋ｄ）ｂ＝０
（ａ＋ｄ）ｃ＝０，ｄ^2＋ｂｃ＝１
［１］ｂ＝ｃ＝０のとき，４通り
Ｘ＝［１，０］ Ｘ＝［−１，０］
［０，１］ ［０，−１］
原点を中心に１８０°回転させる
Ｘ＝［１，０］ Ｘ＝［−１，０］
［０，−１］ ［０，１］
それぞれｘ軸を軸として線対称に反転，ｙ軸を軸として線対称に反転させる
［２］ｂ＝０，ｃ≠０のとき，２通り
Ｘ＝［１，０］ Ｘ＝［−１，０］
［ｃ，−１］ ［ｃ，１］
［３］ｂ≠０，ｃ＝０のとき，２通り
Ｘ＝［１，ｂ］ Ｘ＝［−１，ｂ］
［０，−１］ ［０，１］
［４］ｂ≠０，ｃ≠０のとき，４通り
Ｘ＝［ａ，（１−ａ^2）／ｃ］ Ｘ＝［−ａ，（１−ａ^2）／ｃ］
［ｃ，−ａ］ ［ｃ，ａ］
Ｘ＝［ａ，ｃ］ Ｘ＝［−ａ，ｃ］
［（１−ａ^2）／ｃ，−ａ］ ［（１−ａ^2）／ｃ，ａ］
ａ＝１とおくと［２］［３］は［４］に含まれることがわかる．よって，８通り．
ａ＝０，ｃ＝１とおくと
Ｘ＝［０，１］
［１，０］
が得られるが，これはｙ＝ｘを軸として線対称に反転させる．
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【２】Ｘ^2＝−Ｅの解
Ｘ＝［ａ，ｂ］
［ｃ，ｄ］
とおくと，
Ｘ^2＝［ａ^2＋ｂｃ，（ａ＋ｄ）ｂ］＝−［１，０］
［（ａ＋ｄ）ｃ，ｄ^2＋ｂｃ］ ［０，１］
より
ａ^2＋ｂｃ＝−１，（ａ＋ｄ）ｂ＝０
（ａ＋ｄ）ｃ＝０，ｄ^2＋ｂｃ＝−１
［１］ｂ＝ｃ＝０のとき，４通り
Ｘ＝［ｉ，０］ Ｘ＝［−ｉ，０］
［０，ｉ］ ［０，−ｉ］
Ｘ＝［ｉ，０］ Ｘ＝［−ｉ，０］
［０，−ｉ］ ［０，ｉ］
［２］ｂ≠０，ｃ≠０のとき，４通り
Ｘ＝［ａ，−（１＋ａ^2）／ｃ］ Ｘ＝［−ａ，−（１＋ａ^2）／ｃ］
［ｃ，−ａ］ ［ｃ，ａ］
Ｘ＝［ａ，ｃ］ Ｘ＝［−ａ，ｃ］
［−（１＋ａ^2）／ｃ，−ａ］ ［−（１＋ａ^2）／ｃ，ａ］
ｂ＝０，ｃ≠０のとき，ｂ≠０，ｃ＝０のときは［２］に含まれる．よって，８通り．
ａ＝０，ｃ＝１とおくと
Ｘ＝［０，−１］ Ｘ＝［０，１］
［１，０］ ［−１，０］
が得られるが，これらはそれぞれ反時計回り，時計回りに９０°回転させる．
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【３】回転作用素
ここで，
Ｅ＝［１，０］ Ｊ＝［０，−１］
［０，１］ ［１， ０］
Ｋ＝［０，１］ Ｌ＝［１， ０］
［１，０］ ［０，−１］
Ｊは反時計回りに９０°回転させる作用素
Ｋはｙ＝ｘを軸として線対称に反転させる作用素
Ｌはｘ軸を軸として線対称に反転させる作用素
とおくと，
Ｊ^2＝−Ｅ，Ｋ^2＝Ｌ^2＝Ｅ，Ｊ^2＋Ｋ^2＋Ｌ^2＝Ｅ＝Ｅ^2
ＪＫ＝−Ｌ，ＫＬ＝Ｊ，ＬＪ＝−Ｋ
ＫＪ＝Ｌ，ＬＫ＝−Ｊ，ＪＬ＝Ｋ
が成り立つ．
また，ノルムが不変で円を描く
Ｊ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｊｓｉｎθ
に対して
Ｋ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｋｓｉｎθ
＝［ｃｏｓθ， ｓｉｎθ］
［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］
θ＝π／２のとき，Ｋ＝Ｋ
θ＝πのとき，Ｋ^2＝Ｅ
Ｌ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｌｓｉｎθ
＝［ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，０］
［０，ｃｏｓθ−ｓｉｎθ］
θ＝π／２のとき，Ｌ＝Ｌ
θ＝πのとき，Ｌ^2＝−Ｅ
は，ノルムが楕円軌道を描くように変化する．
［参］真鍋克裕「複素ベクトルと三元数」ブイツーソリューション
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