龍谷大学で行われた研究会で，前原濶先生（元琉球大，現東海大）が「正多面体に手錠をはめる」という面白い話をされたそうである．正四面体を１辺の長さの９０％の直径をもつ円形の穴を通すことができるなどは，やってみれば理解できるが，意外な事実ではないだろうか．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正多面体とペトリー多角形

　紀元前３世紀の頃（ユークリッドの時代），既に５種類の正多面体は知られていたといわれています．これら５個はすべて頂点がひとつの球面上にあり，Ｄを球面の直径，ａを内接する正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｄ^2＝３ａ^2

　　正四面体　→　Ｄ^2＝３ａ^2／２

　　正八面体　→　Ｄ^2＝２ａ^2

　　正十二面体　→　Ｄ^2＝（５＋√５）ａ^2／２

　　正二十面体　→　Ｄ^2＝３（３＋√５）ａ^2／２

　また，Ｖを体積，ａを正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｖ＝ａ^3

　　正四面体　→　Ｖ＝√２ａ^3／１２

　　正八面体　→　Ｖ＝√２ａ^3／３

　　正十二面体　→　Ｖ＝（１５＋７√５）ａ^3／４

　　正二十面体　→　Ｖ＝５（３＋√５）ａ^3／１２

このことから，半径ｒの球の体積と等しい正四面体の１辺の長さは２ｒ√πとなります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　正多面体の点心図，辺心図，面心図をみると，その中に正射影として輪郭が正多角形に見える方向があります．たとえば，正四面体の４つの頂点は同一平面上にありませんが，辺心図をみると輪郭は正方形に見えます．

　　立方体　→　点心図が正六角形に見える

　　正四面体　→　辺心図が正方形に見える

　　正八面体　→　面心図が正六角形に見える

　　正十二面体　→　面心図が正十角形に見える

　　正二十面体　→　点心図が正十角形に見える

　これらの正射影では，もとの正多角形の中点をうまく結んだ正多角形ができます．この正多角形をペトリー多角形，この面をペトリー面（赤道面）といいます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正四面体の通り抜ける円形の穴の下限

　正四面体の２組の相対する辺はねじれの位置にありますが，その中点を結ぶ直線はこれらの辺に直交します．稜の長さが√２の正四面体の対辺の中点を結ぶ直線の長さは１となるのですが，ここではちょっと風変わりな方法で求めてみることにします．

　ｎ次元正単体の境界多面体はｎ−１次元正単体，ｎ＋１次元正単体の境界多面体はｎ次元正単体である．正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になる．そこで，ｎ次元正単体の代わりに，全体を１次元あげてｎ＋１次元正単体の境界多面体をとることにする．

　境界多面体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）

　　Ｖ1（１，０，・・・，０，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）

から生成される．これらの頂点間距離は√２である．

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ2（０，０，０，１）

とすると２つの中点の座標は（１／２，１／２，０，０）と（０，０，１／２，１／２）になるから，中点間距離は１．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　１辺１の正四面体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／２の正方形（ペトリー多角形）の対角線（長さ１／√２）を直径とする円であることはすぐにわかるが，これは正四面体の１辺の長さの７０％であって，９０％ではない．

　前原先生の講演では，結果だけで詳しい証明には立ち入らなかったそうである．９０％といったのはおおざっぱな値で，正確な境界は８９，６％余りで，これはある有理関数の極値をコンピュータを援用して計算した値とのことである．詳細がわかり次第，本ＨＰでも報告したいと考えている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝