龍谷大学で行われた研究会で，前原濶先生（元琉球大，現東海大）が「正多面体に手錠をはめる」という面白い話をされたそうである．正四面体を１辺の長さの９０％の直径をもつ円形の穴を通すことができるなどは，やってみれば理解できるが，意外な事実ではないだろうか．

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【１】ヒポクラテスの定理

　ピタゴラスの定理の応用として，直角三角形の面積が２つの月形の面積の和に等しいというものがあることはご存知でしょう．この結果は「ヒポクラテスの定理」と呼ばれるのですが，非直線図形と直線図形の大きさの間に成り立つ等式としてなかなかの深みが感じれらます．

　三日月の面積が直角三角形の面積に等しくなったので，彼はギリシア三大問題である円積問題（円と等しい面積の正方形を定規とコンパスで作図する）を解決できたと思いこんだようです．

　ところで，３次元では非平面図形と平面図形の大きさの間に成り立つ等式として，球が四面体と同じ体積になるという見事な例が知られています．正四面体の２組の相対する辺はねじれの位置にありますが，その中点を結ぶ直線はこれらの辺に直交します．中線を結ぶ直線の長さを２ｒとすると，この正四面体の体積は半径ｒ（直径２ｒ）の球の体積と等しくなるのです．

　このことはカヴァリエリの原理「切り口の面積が等しければ体積も等しい」から簡単に証明できます．中心からｘのところを通る平面で切るとどちらも断面積がπ（ｒ^2−ｘ^2）となるので，円の体積も正四面体の体積も等しくなるのです．

　２つの立体がカヴァリエリ合同であり，中心を通る平面できる断面の形は面積πｒ^2の円と正方形ですから，このことから円積問題が解決されたような気分にさせられてしまうのですが，実はこの正四面体の１辺の長さは２ｒ√πですから問題は解決していないのです．

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【２】円積問題（円の正方形化）

　円の正方形化問題（円積問題），すなわち，定規とコンパスだけで円と等積な正方形を作図することはギリシャの３大作図問題の１つとして有名なものですが，実は１９世紀になってから作図不能であることが証明されています．

　円積問題は２次方程式：ｘ^2−π＝０に帰着しますが，√πがコンパスと定規で作図できたとすると，その平方であるπも同様に作図可能ということになります．しかし，πは超越数ですから√πも超越数なのです．したがって，√πは代数方程式の解とはなりえず，円積問題も作図不能となるのです．

　この問題をｎ次元に拡張してみましょう．半径１のｎ次元単位超球の体積は

　　Ｖn＝π^(n/2)／Γ(n/2+1)＝π^(n/2)／（ｎ／２）！

と書けます．Ｖ1＝２（直径），Ｖ2＝π（面積），Ｖ3＝４π／３（体積）はご存知でしょう．４次元から６次元までも具体的に書けば，

　　Ｖ4＝π^2／２，Ｖ5＝８π^2／１５，Ｖ6＝π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　このことから，ｎ次元の円積問題はｎ次方程式：ｘ^n−π^(n/2)／Γ(n/2+1)に帰着されることになり，ｎ次元定規とｎ次元コンパスを用いたとしても作図は不能と考えられます．

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【３】円の三角形化

　次に，円と等積な正三角形を作図することを考えてみます．半径１の円の面積はπ，１辺の長さｘの正三角形の面積は√３／２ｘ^2ですから，２次方程式：√３／２ｘ^2−π＝０に帰着され，この問題も作図不能です．

　それではｎ次元単体とｎ次元超球ではどうでしょうか？　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．すなわち，正単体の体積を求めるにあたって問題となるのはその高さなのですが，高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とします（稜の長さが√２の正単体）．

　これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

ですから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになります．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができるのです．

　　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となりますが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるでしょう．

　したがって，ｎ次方程式：√（１＋ｎ）／ｎ！ｘ^n＝π^(n/2)／Γ(n/2+1)に帰着されるだけで，事情は２次元の円積問題と変わりません．

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