先日，秋田で行われた高校２年生対象のセミナーの様子をレポートします．対象は高校２年生２４名（８名×３班）です．ベクトルは一部の生徒を除き，大半が履修済み．とはいっても実際にベクトルを使って証明した経験はごく少ないものと思われます．

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【１】イントロダクション

　数学ではこのような演習が重要なこと（Seeing is proving）に触れた後，（その１２）に掲げたルーブリックにしたがい，演習を進めました．４時間以内に完結させるため，事前にワークシートを作成．それは時間制限の関係もあったのですが，まったくノーヒントで「対角線の長さの２乗和」＝「頂点数の２乗」を導くのは困難かつ無謀に思われたからです．ワークシートはステップ１，ステップ２，ステップ３からなります．

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【２】ステップ１

　まず，ステップ１だけを配布．順調に作図，計測，計算は完了．ｎ＝３，４，６については教具を一切使わず，計算だけで求めた班もあったそうです．

　空欄を埋めさせたあとの各班の代表による発表では，予期せぬ珍解答・迷解答が続出しました．

(1) 「対角線の長さの２乗和」が「頂点数の２乗」になるという結果は，どの班もすぐにわかったようである．ただし，この段階では「辺数の２乗」という結果もあり得るが，３次元図形の場合「頂点数の２乗」でなければならないことがあとで明らかになる．

(2) 辺を含め，対角線の数がnＣ2＝n(n-1)/2になるという答えを期待したが，正解したのは１班のみ．「数列３，６，１０，１５，・・・が階差数列になる」で止まってしまった班．正ｎ角形の対角線の数はn(n-3)/2とした班．これは正しい答えではあるのだが，その公式を中学で教わって知っていたからであって，対角線の本数n(n-3)/2+辺の本数n=nＣ2となることがわからない）．他にも珍解答，迷解答多数．

(3) 対角線の長さの総和についてはまったく意見は出ず．しかし，正ｎ角形の１辺の長さを2rsin(π/n)とした生徒がいた．

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【３】ステップ２

　次にベクトルのおさらいを実習担当の高校の先生が指導．一般の正ｎ角形の場合でも“各対角線の２乗の総和”は“頂点数の２乗”が成り立つことの証明に挑戦させる．

　しかし，程なく全員お手上げ状態になる．そこで高校の先生たちと協議し，一般のｎでなく，ｎ＝６の場合について証明させることにした．同時にヒントとなる図を与えた．

　内積の計算では角度（３０°の倍数）を使って計算していて，p1+p2+p3+p4+p5+p6=0を利用する解法には気づかなかったようだ．高校の先生がp1+p2+p3+p4+p5+p6=0を示した後，秋山仁先生による模範解答を配布した．

　単位球に内接する立方体（頂点数８，辺数１２）についての穴埋めは時間がかかった．３次元用の教具も必要と思われる所以である．最終的には各班とも対角線の長さの２乗の和＝６４を導くことができた．ここではじめて「頂点数の２乗」になることが判明したわけである．また，この事実を用いて，単位球に内接する正四面体の１辺の長さを簡単に求めることができた．

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【４】ステップ３

　ここで時間切れで，ステップ３にはまったく進めず．パワーポイントで実習内容を補足した．高校生にとっては４次元図形を見ることは初めての経験であったと思う．

　最後に指導にあたられた高校指導課の先生から“各対角線の２乗の総和”＝“頂点数の２乗”の証明は大学入試の問題としては難問とはいえないレベルの問題であることを聞かされ，不安にかられた生徒もいたが，その意味でもいい体験学習であったのではないかと思う　　（佐藤郁郎）．

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