（その３０）ではｎ次元の立方体（頂点数２^n）のひとつおきの頂点において，そこと相隣る頂点全体を通る超平面で２^n-1個切り落として残る図形を考えたが，全頂点からは一斉に２^n個切り落として残る図形を考えてみよう．

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　その場合であっても，切り口が辺の中点，面の中心，胞の中心，・・・などを通るときにできる特別な図形に要点があるのか，それともそのように移っていく途中の推移が問題なのかによって話が違ってくる．

　前者ではたとえば４次元の超立方体については

［１］辺の中点を通る場合：立方八面体と正四面体で囲まれる図形

［２］面の中心を通る場合：正２４胞体

［３］胞の中心を通る場合：正１６胞体

になる．ただし，これは例外的に簡単な場合で，５次元以上の超立方体については一般的な形はわかっていないように思われる（だから研究する価値がある）．

　３次元の正多面体について，後者の推移を調べてみると，断平面の通る位置によって

正四面体

［１］辺心に達するまで：切頂四面体

［２］辺心　　　　　　：正八面体

［３］辺心から面心の間：切頂四面体の形

［４］面心　　　　　　：正四面体

立方体

［１］辺心に達するまで：切頂六面体

［２］辺心　　　　　　：立方八面体

［３］辺心から面心の間：切頂八面体の形

［４］面心　　　　　　：正八面体

正八面体

［１］辺心に達するまで：切頂八面体

［２］辺心　　　　　　：立方八面体

［３］辺心から面心の間：切頂六面体

［４］面心　　　　　　：正六面体

正十二面体

［１］辺心に達するまで：切頂十二面体

［２］辺心　　　　　　：１２・２０面体

［３］辺心から面心の間：切頂二十面体の形

［４］面心　　　　　　：正二十面体

正二十面体

［１］辺心に達するまで：切頂二十面体

［２］辺心　　　　　　：１２・２０面体

［３］辺心から面心の間：切頂十二面体

［４］面心　　　　　　：正十二面体

　４次元の場合もこのように追ってゆけば概略の形が見当つくが，中間の形は大変に複雑なものになる．たとえば，４次元の超立方体の場合，面の中心を通るような切断では全体として正２４胞体ができる．その中間では正１６胞体や正２４胞体を切断（必ずしも切頂でなく，場合によっては胞に平行に切った形など）した形が現れるようである．いずれにせよ，しかし，基本単体の切半体からその形を構成するにはかなりの洞察力がいるようだ．

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　（±１，±１，±１）を頂点とする立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ＝３／２で表される８枚の平面で切った残りは，頂点の座標（±１，±１／２，０）の±のすべての組み合わせとすべての置換，合計２４個を計算してみると，正確に切頂八面体になることがわかる．

　（±１，±１，±１，±１）を頂点とする４次元長立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ±ｗ＝２で表される１６枚の超平面で切った残りは，正２４胞体になる．

　しかし，これらはむしろ偶然の幸運であって，５次元以上ではかなり複雑な図形となるようである．

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