３次元の平行多面体の元素となるペンタドロンの空間座標は，基本単体の頂点

　　ｑ0（０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０）

　　ｑ2（１／２，１／２，１／２）

　　ｑ3（１，１／４，１／４）

　　ｑ4（１，１／２，０）

　　ｑ5（３／４，３／４，０）

である．ｑ2〜ｑ5は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝３／２上にある．

　４次元では，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，７頂点

　　ｑ0（０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）

　　ｑ5（２／３，２／３，２／３，０）

　　ｑ6（１，１／２，１／２，０）

が元素の頂点となる．ｑ2〜ｑ6は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．

　５次元では，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5≦５／２の部分をとると，１２頂点

　　ｑ0（０，０，０，０，０）

　　ｑ1（１，０，０，０，０）

　　ｑ2（１，１，０，０，０）

　　ｑ3（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

　　ｑ4（１，３／８，３／８，３／８，３／８）

　　ｑ5（１，１，１／６，１／６，１／６）

　　ｑ6（５／６，５／６，５／６，０，０）

　　ｑ7（５／８，５／８，５／８，５／８，０）

　　ｑ8（１，３／４，３／４，０，０）

　　ｑ9（１，１／２，１／２，１／２，０）

　　ｑ10（１，１，１／４，１／４，０）

　　ｑ11（１，１，１／２，０，０）

が元素の頂点となる．ｑ3〜ｑ11は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２上にある．

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【１】基本単体の半切体が何個集まれば平行多面体を構成することができるのだろうか？

　ｎ次元の立方体の基本単体の辺の長さはすべて１，√２，・・・，√ｎである．また，ｎ次元の立方体の基本単体数ｇは

　　ｇ＝２^n・ｎ！

となる．

　４次元の場合，これが３８４個で４次元立方体（正８細胞体）を組み立てることができるから，４次元の立方体の基本単体の半切体が７６８個で４次元立方体を組み立てることができる．同様に，５次元の立方体の基本単体の半切体が７６８０個で５次元立方体を組み立てることができる．

　立方体の頂点数は２^nであるから，ひとつの頂点に集まる基本単体数＝基本単体の半切体数は

　　ｇ0＝ｎ！

である．これが２^n組集まると平行多面体を構成することができる．

　　ｇ1＝２^n・ｎ！＝ｇ

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【２】基本単体の半切体から構成される平行多面体の座標を求めよ

［１］３次元の場合

　立方体のひとつの頂点に集まる基本単体の半切体数はｎ！であるから，半切体の座標を置換すると

　　（０，０，０）→体心

　　（１，０，０）→面心

　　（１／２，１／２，１／２）→面心

　　（１，１／４，１／４）→辺心

　　（１，１／２，０）→頂点

　　（３／４，３／４，０）→辺心

となり，（１，１／２，０）から派生する６点，たとえば，（０，１，１／２），（１／２，０，１）だけが頂点になる．それらを各象限に移すために（ｘ，ｙ，ｚ）の各座標に±をつけた（±ｘ，±ｙ，±ｚ）の２４点が切頂八面体の頂点である．

　（ｘ，ｙ，ｚ）が３つとも異なるならば３！＝６点（６角形）であるが，１つだけ異なり２つが同じならば３！／１！２！＝３，３つとも同じ場合は３！／３！＝１でＮＧである．

［２］４次元の場合

　ｎ＝４とするとｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域はちょうどＲＰとなる．４次元立方体の奇頂点を中心として８個のＲＰを切り落とせば芯に正１６胞体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えれば４次元切頂八面体（３０胞体）が得られるものと予想される．本当だろうか？

　（±１，±１，０，０）を置換した２４点は４次元の超立方体の２次元面２４個の中心をとったものである．また，その双対として正１６胞体の２４本の辺の中点をとったものでもある．この２４頂点は正２４胞体の２４個の頂点に変換することができる．

　（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が４つとも異なるならば４！＝２４点（切頂八面体）であるが，１つだけ異なり３つが同じならば４！／１！３！＝４（退化した立方体？），２つが異なり２つが同じならば４！／１！１！２！＝１２（六角柱），２つが同じ組２組あれば４！／２！２！＝６（退化した六角柱？），４つとも同じ場合は４！／４！＝１となる．

　しかし，３次元の場合とは違って，眼に見えないわけで，どれが頂点として残るかはよくわからない．次回の宿題としたい．

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