このシリーズでは，面正則多面体を辺に沿って切り開いた展開図のうち，少なくともひとつがタイル貼りできる性質（ＴＰ）をもつ多面体を探索してきました．最初は簡単に見つかると思っていましたが，実際は手応え十分，かなりやりがいのある問題になりました．

　その後，新たにＪ10，Ｊ49，Ｊ87，Ｊ88，Ｊ89，Ｊ90もＴＰ性をもつことがわかっています．最終的にいくつあるのか気になるところですが，今回のコラムでは未解決問題を整理してみたいと思います．

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【１】正三角形と正方形からなるジョンソン立体

　正方形がedge to edgeで接合するものをＴ型，そうでないものをＲ型と呼ぶことにする．Ｒ型擬似一様タイルの基本領域と一致するジョンソン立体はないことは証明済みであり，

　　Ｊ26，Ｊ27，Ｊ29，Ｊ35，Ｊ36，Ｊ37，Ｊ44

は除外できる．

　また，関節自由度を考えると△-rich（△：□＞２：１）であることも必要と思われ，

　　Ｊ7，Ｊ8，Ｊ28

は除外できる．

　さらに，展開図で６０°未満の角度が形成される頂点

　　［３，３，４，６］

　　［３，４，４，４］

　　［４，６，６］

をもつものとして，［３，４，４，４］を有するＪ45も除外した．

　こうして，２４種類ある正三角形と正方形からなるジョンソン立体のなかで，必要条件を満たすものはＪ1，Ｊ10，Ｊ14-16，Ｊ49-50，Ｊ85-90に絞り込まれたが，Ｊ85以外はすべてＴＰをもつことが確かめられているので，Ｊ85だけが未解決のまま残ったことになる．

［補］　［３，３，３，３，４］も６０°未満の角度が形成される頂点であるが，関節自由度が高く，開裂させることで６０°未満の角度は解消される．実際，Ｊ87-90は［３，３，３，３，４］を有しているがＴＰ性をもつ．

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【２】正三角形と正方形と正六角形からなるジョンソン立体

　この場合もＲ型（Ｊ3，Ｊ18，Ｊ22）は除外できることが証明されるので，Ｔ型擬似一様タイルを考えることにする．Ｔ型擬似一様タイルの基本領域は平行２ｎ辺形になる．

　そこで，正方形２個，正三角形４個，正三角形２個＋正六角形１個からなる平行四辺形領域を１ユニットとして，正方形ａ行ｄ列，正三角形ｂ行ｄ列，正三角形＋正六角形ｃ行ｄ列，さらに正三角形あるいは正方形からなるｅ列が加わった，平行２ｎ辺形型基本領域を考える．

　すると

　　正三角形数＝（４ｄ＋２ｅ）ｂ＋（２ｄ＋４ｅ）ｃ

　　正方形数　＝（２ｄ＋ｅ）ａ

　　正六角形数＝ｄｃ

となる．

　これを満たす整数解｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝が存在するのは，８種類ある正三角形と正方形と正六角形からなるジョンソン立体のなかでＪ55，Ｊ56，Ｊ57だけである．しかし，これらは展開図で６０°未満の角度が形成される頂点

　　［３，３，４，６］

を有しているため，除外した．

［補］平行２ｎ辺形型基本領域を２等分したイス型領域を考えると，

　　正三角形数×２＝（４ｄ＋２ｅ）ｂ＋（２ｄ＋４ｅ）ｃ

　　正方形数　×２＝（２ｄ＋ｅ）ａ

　　正六角形数×２＝ｄｃ

の計算によりＪ54，Ｊ65もパスする．しかし，これらも［３，３，４，６］を有しているため，除外できる．

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【３】正三角形と正六角形からなる立体

　正方形と正六角形からなる多面体がＴＰ性をもたないことは明らかであるから，ここでは正三角形と正六角形からなる多面体を考える．これは前節の特別な場合であって，整数解｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝が存在するのは六角反柱だけである．切頂四面体は整数解をもたないのである．

　六角反柱はＴＰ性をもつことが確かめられているので，これでいよいよＪ85だけが未解決のまま残ったことになる．

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