単位級に内接する正多面体ではＰ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝０よりΣｄi^2＝ｖ^2が成り立ちますが，Σｄi^2＝ｖ^2が成立する場合を「良い配置」と呼ぶことにします．

　正多面体の頂点の集合が「よい配置」であることはかなり以前より知られていますが，正多面体でない準正多面体でも３次元の立方八面体や１２面・２０面体など，この性質をもつ多面体は多数あります．

　正多面体，準正多面体，アルキメデス角柱，反角柱はすべて「よい配置」ですが，ジョンソン立体では

［１］外接球を有し，ｃ＝０のとき（外接球の中心ＯについてΣＰj＝０を満たす）　→　Σｄi^2＝ｖ^2が成立

　Ｊ27，Ｊ34，Ｊ37，Ｊ72-75，Ｊ80の８種類は外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ｊ73，Ｊ80は中心対称）．

［２］外接球を有し，ｃ≠０のとき（外接球の中心ＯについてΣＰj≠０を満たす）　→　Σｄi^2＝ｖ^2（１−ｃ^2）が成立

　Ｊ1-6，Ｊ11，Ｊ19，Ｊ62-63，Ｊ76-79，Ｊ81-83の１７種類は外接球を有しΣＰj≠０を満たす．

［３］外接球をもたず，ｃ＝０のとき（重心ｃについてΣＰj＝０を満たす）　→　Σｄi^2＜ｖ^2が成立

［４］外接球をもたず，ｃ≠０のとき　→　Σｄi^2＜ｖ^2（１−ｃ^2）が成立

　今回のコラムでは，新たな系［５］を追加します．

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【１】対角線の全長の２乗と対角線の２乗の総和

　対角線の本数は（辺も含めて）ｖ（ｖ−１）／２＝Ｎ，対角線の長さの２乗の総和は頂点数の２乗ｖ^2となるが，対角線の全長については何かいえるだろうか？

　　（Σｄi）^2＞Σｄi^2＝ｖ^2

すなわち，対角線の全長の２乗＞対角線の２乗の総和は明らかであるが，対角線の全長の２乗の上界を求めてみよう．

　　ｕ＝（１，１，・・・，１），ｖ＝（ｄ1，ｄ2，・・・，ｄN）

に対して，コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，

　　（Σｄi）^2≦Ｎ・Σｄi^2＝ｖ^3（ｖ−１）／２

等号が成立するのは，ｄ1＝ｄ2＝・・・＝ｄNであるから，正単体に限られる．

　なお，

　　（Σｄi）^2＜ｖ^4／２　→　　Σｄi＜０．７ｖ^2

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