ｇk＝（ｋ^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k-1・・・（２ｋ−１）
この式において，
ｇ1＝１，ｇ2＝２，ｇ3＝４２，ｇ4＝２４０２４
だが，ｇkが整数であることは決して自明ではなく，にわかには信じがたい．
そこで，この続きを阪本ひろむ氏に計算してもらったところ
ｇ5＝７０１１４９０２０
ｇ6＝１６７１６４３０３３７３４９６０
ｇ7＝４７５０７３６８４２６４３８９８７９２２８５６０
ｇ8＝２２０８１３７４９９２７０１９５０３９８８４７６７４８３０８５７６００
以降ｇ100まで，整数であることが確認された．もはやこの式の整除性を疑うことはできまい．連続するｋ個の自然数の積はｋ！で割り切れることを使って証明してみたい．
連続するｋ個の自然数の積
ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）
がｋ！で割り切れることは
ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！
が整数であることがいえればよいのであるが，
ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk
すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．
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【１】項比
ｇk+1＝（（ｋ＋１）^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k+1・（ｋ＋２）^k・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）
であるから，項比は
ｇk+1／ｇk＝（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！・（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）
（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！＝（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）
には連続する２ｋ＋１個の自然数の積があるから（２ｋ＋１）！で割り切れる．
したがって，
（２ｋ＋１）！／（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）
＝（２ｋ）！／（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2
ここで，
（２ｋ）！＝ｋ！（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（２ｋ）
より，
（２ｋ）！／（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2
＝ｋ！／（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（２ｋ）
が整数になればよいのであるが，分子の
（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（２ｋ）
は連続するｋ個の自然数の積であるからｋ！で割り切れることより，整数にはならない．
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【２】項比によらずに
［１］では項比を計算したが，項比によらずに計算したとしてもうまくいかない．ここではそれを示しておきたい．失敗もまた勉強である．
ｇk＝（ｋ^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k-1・・・（２ｋ−１）
の分母は
連続する２ｋ−１個の自然数の積：１・２・３・・・（２ｋ−１）
連続する２ｋ−３個の自然数の積：２・・・（２ｋ−２）
連続する２ｋ−５個の自然数の積：３・・・（２ｋ−３）
連続する１個の自然数の積 ：ｋ
があるから，１！・３！・・・（２ｋ−３）！・（２ｋ−１）！で割り切れる．
一方，分子には連続するｋ^2個の自然数の積があり，それを
ｋ^2＝１＋３＋・・・＋（２ｋ−３）＋（２ｋ＋１）
とｋ組の連続する奇数個の自然数の積に分割することができる．したがって， １！・３！・・・（２ｋ−３）！・（２ｋ−１）！
で割り切れる．
これより，
１！・３！・・・（２ｋ−３）！・（２ｋ−１）！／分母
が整数になればよいのであるが，分母もまた
１！・３！・・・（２ｋ−３）！・（２ｋ−１）！
で割り切れることより，整数にはならない．
なお，分母は
（２ｋ−１）！・（２ｋ−２）！／１！・（２ｋ−３）！／２！・・・（２ｋ−ｋ）！／（ｋ−１）！
と変形されるから，
１！・３！・・・（２ｋ−３）！・（２ｋ−１）！／分母
＝（２ｋ−１）！・（２ｋ−３）！・・・３！・１！／分母
＝１／（２ｋ−２）・２！／（２ｋ−３）（２ｋ−４）・３！／（２ｋ−４）（２ｋ−５）（２ｋ−６）・・・
となって，ますます事態は混迷化する．
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【３】雑感
証明に無駄があることが確かである．もっと直接的に，
［１］（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）には，（ｋ＋１）の倍数が２個以上，・・・，（２ｋ）の倍数が２個以上，（２ｋ＋１）の倍数が１個以上ある
［２］（ｋ^2）！には，２の倍数が２個以上，・・・，ｋの倍数がｋ個以上，（ｋ＋１）の倍数が（ｋ−１）個以上，・・・，（２ｋ−１）の倍数が１個以上ある
とかを証明した方がよいのかもしれない．次回の宿題としたい．
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