１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる．√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．

　正三角形面からなる多面体である正四面体，正方形面からなる多面体である立方体，正五角形面からなる多面体である正十二面体を考える．正四面体は対角線をもたないが，立方体には長さ√２と√３の２種類の対角線がある．正十二面体には長さτ，τ√２，τ^2，τ√３の４種類の対角線がある．

　その４次元版である正５胞体，正８胞体，正１２０胞体を考える．正５胞体は対角線をもたないが，正８胞体には長さ√２と√３と２の３種類の対角線がある．正１２０胞体には２９種類の対角線がある．一般に，ｎ次元の正ｎ＋１胞体は対角線をもたないが，正２ｎ胞体には長さ√２，√３，・・・，√ｎのｎ−１種類の対角線がある．

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【１】ｍ次元単体の稜の全長について

　ｍ次元単体の頂点数はＶ＝ｍ＋１，稜数は（ｍ＋１，２）＝ｍ（ｍ＋１）／２＝Ｅで与えられます．

　単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．

　　Σｄi^2＝ｖ^2

また，外心と重心が一致しない場合は

　　Σｄi^2＝ｖ^2（１−ｃ^2）

が成り立ちます．単体は対角線をもたないので，左辺は稜の長さの２乗和になります．

　ここでは長さの２乗和でなく，長さの総和について調べてみますが，

　　（１，１，・・・，１），（ｄ1，ｄ2，・・・，ｄe）

に対して，コーシー・シュワルツの不等式を適用することによって，単位球に内接するｍ次元単体の稜の全長について

　　Ｌ＝Σｄi≦Ｖ｛Ｅ（１−ｃ^2）｝^1/2

が成り立つことがわかります．

　等号はｃ＝０（外心と重心が一致）し，その単体が正則であるときです．

　　Ｌ＝Ｖ√Ｅ

　　ｍ＝２　→　Ｌ＝３√３　（正三角形）

　　ｍ＝３　→　Ｌ＝４√６　（正四面体）

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【２】３次元多面体の稜の全長について

　３次元多面体の場合を考えてみるために，

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

　単位球面をｎ（≧３）個の等面積な部分に分割する網目の長さの総和Ｌについては，

　　Ｌ≧６（ｎ−２）ａｒｃｃｏｓ（２／√３ωn）

等号は３稜頂点多面体の球面網に対してのみ成り立ちます．

　また，表面積Ｓの凸多面体のすべての面が等面積ならば，稜の全長は

　　Ｌ≧√（６（ｎ−２）Ｓｔａｎωn）

等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つ．

　以上より，与えられた直径Ｄの球を内部に含むならば，Ｌ／Ｄの値は立方体のとき最小値をとり，

　　Ｌ≧１２Ｄ

となることが証明されています．立方体が最小の稜の長さの和をもつのです．

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【３】ｍ次元単体の三角不等式について

　三角不等式というと「三角形の２辺の和は他の１辺より長い」が思い起こされますが，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，

　　Ｒ≧２ｒ

となることを主張する，もうひとつの三角不等式を証明してみることにしましょう．

（問題）Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

（証明）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます．

　外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表すと，

　　ａｂｃ＝４ＲΔ　　　　　　　（正弦定理）

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２Δ　　　（寄木細工定理）

ここで，

　　ｓ1＝ａ＋ｂ＋ｃ，

　　ｓ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ，

　　ｓ3＝ａｂｃ

とおくとき，Ｒ≧２ｒは

　　ｓ1ｓ3≧１６Δ^2

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3≧０

と同値．

　実際にやってみると

　　ｓ1^3−４ｓ1ｓ2＋９ｓ3＝１／２［（ｂ−ｃ）^2（ｂ＋ｃ−ａ）＋（ｃ−ａ）^2（ｃ＋ａ−ｂ）＋（ａ−ｂ）^2（ａ＋ｂ−ｃ）］≧０

ｂ＋ｃ−ａ＞０，ｃ＋ａ−ｂ＞０，ａ＋ｂ−ｃ＞０ですから，等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限ることがわかります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　とはいってもこれを計算で出すのは大変ですし，この方法で高次元への拡張がうまくいくとはとても思えません．そこで，簡単な補助定理

ａ）ｎ次元球に内接および外接するすべての単体のなかで正則単体はそれぞれ最大および最小の体積をもっていること

ｂ）一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあること，・・・

を使うことによって，以下の不等式が得られます．

　三角不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では

　　Ｒ≧３ｒ　　　（４面体不等式）

三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に

　　Ｒ≧ｎｒ　　　（単体不等式）

が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．

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