すべての次元で単位球に内接する正多胞体（頂点数ｖ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられる．これまで単位球に内接する正多胞体について考えてきたが，内接しない場合（外接球をもたない場合）はどうなるであろうか？

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［Ｑ］ｖ個の頂点（Ｐ1，・・・，Ｐv）をもつ正多面体が半径１の球の内部に存在するとき，Ｑ＝Σ(1,v)｜Ｐ1Ｐj｜^2の値は？

［Ａ］｜Ｐj｜≦１，ｍａｘ（｜Ｐ1｜，・・・，｜Ｐv｜）＝１

　　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝ｒ，ｃ＝｜ｒ｜／ｖ

とする．

　内積をつかえば

　　Ｑ＝（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ1−Ｐ1）＋（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＋・・・＋（Ｐv−Ｐ1）・（Ｐv−Ｐ1）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ1を原点とするのではなく）球の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐj・Ｐj≦１

より

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj≦２−２Ｐ1・Ｐj

よって

　　Ｑ≦２ｖ−２Ｐ1・（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）

が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［１］Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝０のとき

　　Ｑ≦２ｖ

　　ＳＳ＝ｖ／２×Ｑ≦ｖ^2

［２］Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝ｒ≠０のとき

　　Ｑ1≦２ｖ−２Ｐ1・ｒ

　　Ｑ2≦２ｖ−２Ｐ2・ｒ

　　・・・・・・・・・・

　　Ｑv≦２ｖ−２Ｐv・ｒ

　　ΣＱ≦２ｖ^2−２（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）・ｒ＝２ｖ^2−２ｒ^2

　　ＳＳ≦ｖ^2−ｒ^2＝ｖ^2（１−ｃ^2）

で与えられる．

［３］外接球をもたないジョンソン立体はＪ7-10，Ｊ12-18，Ｊ20-26，Ｊ28-33，Ｊ35-36，Ｊ38-61，Ｊ64-71，Ｊ84-92である．そのうちＪ15，Ｊ28，Ｊ31，Ｊ36，Ｊ39，Ｊ43，Ｊ55，Ｊ59，Ｊ67，Ｊ69，Ｊ91は中心対称であるからΣＰj＝０を満たす．ΣＰj＝０を満たすが中心対称でない多面体（たとえば，ねじり変形させたＪ26など）もある．

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