正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n−１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．正１７角形（ｎ＝１７）の場合，

　　ｘ^17−１＝（ｘ−１）（ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１）＝０

より，

　　ｘ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

は１６次方程式

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の解となるのですが，複２次形式

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ

とおくことによって８次方程式に帰着されます．

　（その１９）では，８次方程式

　　２５６ｘ^8−４４８ｘ^6＋２４０ｘ^4−４０ｘ^2＋１＝１２８ｘ^7−１９２ｘ^5＋８０ｘ^3−８ｘ

から，ｘ＝ｃｏｓ（π／１７）を明示的に求めることができなかったので，今回のコラムでは，

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

を解いて，その実部からｃｏｓ（π／１７）ではなくて，ｃｏｓ（２π／１７）を求めることにしたいと思います．

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　ところが，Mathemakicaでは

　　ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０

の解が自動的に

　　ｘ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

に変換されてしまい，＋−×÷√の演算の組み合わせの形には戻らない（阪本ひろむ氏談）．

　答を先にいうと，

　　ｃｏｓ（２π／１７）＝１／１６｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝

が得られる．

　また，単位円に内接する正１７角形の１辺の長さは

　　√｛（１−ｃｏｓ（２π／１７））^2＋ｓｉｎ^2（２π／１７）｝

　＝√（２−２ｃｏｓ（２π／１７））

　＝１／４｛３４−２√１７−２√（３４−２√１７）−４√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７））｝

で与えられる．

　定規とコンパスで描ける図形は直線と円であるから，その作図は線分の長さの加減乗除と平方根をとる操作に相当する．すなわち，定規（直線）とコンパス（円）による作図は，たとえそれらを繰り返し用いたとしても＋，−，×，÷，√なる５つの演算によって得られるものに限られている．前述したことは正１７角形が定規とコンパスで作図可能な図形であることを示す．

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