阪本ひろむ氏いわく『作戦を変えて，変数の消去を試みた．しかし，最後のプロセスが数日かかっても終わらない．リソースモニターをみてみるとメモリはめいっぱい使っており，何らかの演算をしているのはわかる．しかし，これではほかに何もできない．マルチコアのパソコンを使っているとはいえ，ほかのプログラムが使えない．「徹夜」しているのはパソコンであって私ではないのだが，非常に疲れた．限界である．
パソコンもパワーアップしたし，Groebner基底，変数消去論の理論もすすんでいるから何とかなるとおもったが，もくろみ違いであった．メモリを増設して状況が改善するかどうかもわからない．そのようなわけで，今回は白旗をあげる．』
というわけで，この問題は打ち切り，気にかかった問題を解くことにしよう．
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【１】ｃｏｓ（π／７）
（その１７）において，ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られることは初めて知った．
ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９
すぐに思いつくのは７倍角の公式
ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3−７ｃｏｓθ
において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１
７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元するうまい手があるのだろう．
たとえば，ｓｉｎ（π／１０）を求めるのに，θ＝π／１０とおくと
５θ＝π／２，３θ＝π／２−２θ
より，
ｃｏｓ３θ＝ｓｉｎ２θあるいはｓｉｎ３θ＝ｃｏｓ２θ
こうすれは５次方程式を解く必要はない．前者は
４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ
４ｃｏｓ^2θ−３＝２ｓｉｎθ
４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１＝０
より２次方程式に帰着する．
後者は
−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ＝１−２ｓｉｎ^2θ
となって，３次方程式が現れる．それでも
（ｓｉｎθ−１）（４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１）＝０
と因数分解すれは同じ２次方程式に到達する．
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θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝π，４θ＝π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ
前者は４次方程式
８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ
後者は
８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１
より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するというわけである．
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【２】ｃｏｓ（π／ｎ）
前述したように，θ＝π／ｎ，ｘ＝ｃｏｓθが解となる方程式は，一般にｎ次式になると考えることは誤りである．
［１］ｎ＝２ｍのとき
ｃｏｓｎθ＝２ｃｏｓ^2ｍθ−１＝−１
ｃｏｓｍθ＝０はｃｏｓθのｍ次式となる．
［２］ｎ＝２ｍ＋１のとき
ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓｍθｃｏｓ（ｍ＋１）θ−ｓｉｎｍθｓｉｎ（ｍ＋１）θ１＝−ｃｏｓ^2ｍθ−ｓｉｎ^2ｍθ＝−１
ではしょうがないので，
ｃｏｓθ＝ｃｏｓ（（ｍ＋１）θ−ｍθ）＝ｃｏｓｍθｃｏｓ（ｍ＋１）θ＋ｓｉｎｍθｓｉｎ（ｍ＋１）θ１＝−ｃｏｓ^2ｍθ＋ｓｉｎ^2ｍθ＝１−２ｃｏｓ^2ｍθ
とおくと，ｘの２ｍ次式
ｘ＝１−（ｘのｍ次式）^2
が得られる．たとえば，ｃｏｓ（π／７）の場合，６次式となるが，これではほとんどメリットがない．
［３］もしｃｏｓ（π／ｎ）が既知であるならば，ｃｏｓ（π／２ｎ）は２次方程式からは芋づる式に求めることができる．
２ｃｏｓ^2（π／４）−１＝ｃｏｓ（π／２）＝０
２ｃｏｓ^2（π／８）−１＝ｃｏｓ（π／４）＝１／√２
２ｃｏｓ^2（π／１６）−１＝ｃｏｓ（π／８）
２ｃｏｓ^2（π／３）−１＝ｃｏｓ（２π／３）＝−１／２
２ｃｏｓ^2（π／６）−１＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２
２ｃｏｓ^2（π／１２）−１＝ｃｏｓ（π／６）＝√３／２
２ｃｏｓ^2（π／５）−１＝ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４
２ｃｏｓ^2（π／１０）−１＝ｃｏｓ（π／５）＝（√５＋１）／４
２ｃｏｓ^2（π／２０）−１＝ｃｏｓ（π／１０）
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