グレブナー基底関連の場合，変数の指定の順序が非常に大切で，消去すべき変数の並べ方がこれでいいのかどうか，検討の余地がある．その後，阪本ひろむ氏は消去する変数を絞ってからグレブナー基底を導き出すことによって，以下の結果が得られた．

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【１】双心六角形のグレブナー基底

　　３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

　ｄ＝０とおくと

　　−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

となるが，

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／６）＝√３）／２

はこれを満たす．

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【２】まとめ

［１］双心三角形

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

［２］双心四角形

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

［３］双心五角形

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

［４］双心六角形

　　３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

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