Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

　フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけているが，今回のコラムでは，双心五角形の場合を扱ってみたい．

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【１】アルゴリズム

　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

上の２点を（ｘk，ｙk），（ｘk+1，ｙk+1）とおく．

　　ｘk^2＋ｙk^2＝Ｒ^2

　　ｘk+1^2＋ｙk+1^2＝Ｒ^2

　この２点を結ぶ直線：

　　ｙ−ｙk＝ｍk（ｘ−ｘk），ｍk＝（ｙk+1−ｙk）／（ｘk+1−ｘk）

が，

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

に接することから，判別式＝０とおいて，

　　｛ｄ＋ｍk（ｍkｘk−ｙk）｝^2−（１＋ｍk^2）｛ｄ^2＋（ｍkｘk−ｙk）^2−ｒ^2｝＝０が得られる．

　初期値（ｘ0，ｙ0）＝（Ｒ，０）から始まって，（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2），・・・が満たす連立方程式を求める．

　ｘk+1＝ｄ−ｒとなるときの（Ｒ，ｒ，ｄ）の関係式を求める（ｋ＝１，ｎ＝５）．ｄ＝０とおいたとき，

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／５）

であれば，正解が得られていることが確認できる．

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【２】グレブナー基底

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

　ｄ＝０とおくと

　　４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

となるが，

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／５）＝（１＋√５）／４

はこれを満たす．

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