すべての次元で単位球に内接する正多胞体（頂点数ｖ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられるのであるが，それをいわば「ピタゴラスの定理」に相当するものであって，「余弦定理」に相当する公式も存在するはずである．

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［Ｑ］ｖ個の頂点（Ｐ1，・・・，Ｐv）をもつ正多面体が半径１の球に内接しているとき，Ｑ＝Σ(2,v)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝Σ(1,v)｜Ｐ1Ｐj｜^2の値を求めよ．

［Ａ］内積をつかえば

　　Ｑ＝（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ1−Ｐ1）＋（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＋・・・＋（Ｐv−Ｐ1）・（Ｐv−Ｐ1）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ1を原点とするのではなく）球の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐj・Ｐj＝１

より

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj＝２−２Ｐ1・Ｐj

よって

　　Ｑ＝２ｖ−２Ｐ1・（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）

が得られる．

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［１］ピタゴラスの定理に相当

　正多面体の重心は原点にあるから，その対称性より，

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝０，Ｑ＝２ｖ

すべての辺と対角線の長さの平方和ＳＳは，すべての頂点において同じ線分が２回ずつ数えられていることから

　　ＳＳ＝ｖ／２×Ｑ＝ｖ^2　　　（ＱＥＤ）

　外接球を有しΣＰj＝０を満たす正多面体以外の多面体でも，この議論は成立する．また，この議論は３次元のみならず，一般の次元についても成立するものであるから，すべての次元で単位球に内接する正多面体（頂点数ｖ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることになる．

　ジョンソン立体ではＪ27，Ｊ34，Ｊ37，Ｊ72-75，Ｊ80は外接球を有しΣＰj＝０を満たす（Ｊ73，Ｊ80は中心対称）．

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［２］余弦定理に相当

　ここで取り上げるのはＰ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv≠０の場合である．

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝ｒ

とおくと

　　Ｑ1＝２ｖ−２Ｐ1・ｒ

　　Ｑ2＝２ｖ−２Ｐ2・ｒ

　　・・・・・・・・・・

　　Ｑv＝２ｖ−２Ｐv・ｒ

　　ΣＱ＝２ｖ^2−２（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）・ｒ＝２ｖ^2−２ｒ^2

　　ＳＳ＝ΣＱ／２＝ｖ^2−ｒ^2

　すなわち，Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝ｒとすると

　　ＳＳ＝ｖ^2−ｒ^2

また，外心・重心間距離をｃとすると

　　ｃ＝｜ｒ｜／ｖ

であるから，

　　ＳＳ＝ｖ^2（１−ｃ^2）

で与えられるのである．

　ジョンソン立体ではＪ1-6，Ｊ11，Ｊ19，Ｊ62-63，Ｊ76-79，Ｊ81-83は外接球を有しΣＰj≠０を満たす．

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