極座標（ｒ，θ）を用いて
ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ） （ａ＞０，０＜ε＜１）
で表される曲線は原点を１つの焦点とする楕円で，εはその離心率となる．なぜなら，分母を払ってｒ＋ｒεｃｏｓθ＝ａ．また，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘであるから
ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2−２εａｘ＋ε^2ｘ^2
（１−ε^2）（ｘ＋εａ／（１−ε^2））^2＋ｙ^2＝ａ^2／（１−ε^2）
これは楕円の方程式である．
２次曲線は円（ｅ＝０）として生まれ，楕円に育ち，放物線（ｅ＝１）で相転移して双曲線になる．漸近線のなす角度は最初鋭角だがだんだん大きくなり，１８０°になった時点（ｅ＝∞）で虚領域に入る．そして再び円に生まれ変わる．楕円の面積は有限，放物線の面積は∞，この考え方を延長すると双曲線の面積は虚数ということになる・・・というのがケプラーの原理である．射影平面上では，円錐曲線はただ１種類しかなく，双曲線・放物線・楕円などの区別はなく，どれも同種の曲線となる．
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【１】ケプラーの法則
１６世紀前半，コペルニクスは地動説を提案しました．この地動説に基づき，天文学者ケプラーは，ティコ・ブラーエが資料として残してくれた２０年にわたる膨大で精確無比な天文観測記録を試行錯誤的に数値計算し，２５年も費やして火星の軌道を執拗に模索しました．ケプラーは後年，この苦心談を「マルス（火星）との悪戦苦闘」と表現していますが，とてつもない忍耐力と信念に支えられた偉大な業績です．
しかし，その結果は「惑星の軌道は太陽を中心とする円軌道である」とするコペルニクスの地動説に反するものでした．そこで，彼は円軌道という前提に疑問をいだき，これに合う理論を求めてケプラーの法則に到達します．
＜第１法則＞惑星は太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を動く（１６０９年）．
＜第２法則＞面積速度は一定である（角運動量保存則）（１６０９年）．
＜第３法則＞公転周期の２乗は平均距離の３乗に比例する（１６１９年）．
すなわち，惑星の軌道は完全無欠な円ではなく楕円であり，太陽はその一つの焦点の位置にあるとすることによって矛盾が解決されることを導き出したのです．日本ではまだ江戸時代が始まったばかりの時代です．
［Ｑ１］ケプラーの３法則をもとにして力学を確立したのがニュートンですが，ニュートンの法則からケプラーの第２法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．
［Ａ２］まず，準備としてｘｙ平面の極座標（ｒ，θ）を用いて
ｒ＝ｒ（θ）＝ａ／（１＋εｃｏｓθ） （ａ＞０，０＜ε＜１）
で表される曲線は原点を１つの焦点とする楕円で，εはその離心率となります．なぜなら，分母を払ってｒ＋ｒεｃｏｓθ＝ａ．また，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘであるから
ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2−２εａｘ＋ε^2ｘ^2
（１−ε^2）（ｘ＋εａ／（１−ε^2））^2＋ｙ^2＝ａ^2／（１−ε^2）
これは楕円の方程式です．
この楕円は
ｒ（θ）＝（ｒ（θ）ｃｏｓθ，ｒ（θ）ｓｉｎθ）
とパラメータ表示されますから，点Ｐ＝ｒ（θ）における接ベクトルは
ｄｒ／ｄθ＝（−ａｓｉｎθ／（１＋εｃｏｓθ）^2，ａ（ε＋ｃｏｓθ）／（１＋εｃｏｓθ）^2）
となることがわかります．以上の準備の下でケプラーの法則について考えてみましょう．
ｒやθを時間ｔの関数として，’＝ｄ／ｄｔ，”＝ｄ^2／ｄｔ^2とすれば
ｒ(t)＝（ｘ(t)，ｙ(t)）＝（ｒ(t)ｃｏｓθ(t)，ｒ(t)ｓｉｎθ(t)）
ｖ(t)＝（ｖx(t)，ｖy(t)）＝（ｒ’ｃｏｓθ−ｒθ’ｓｉｎθ，ｒ’ｓｉｎθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）
ｖ’(t)＝（（ｒ”−ｒθ’^2）ｃｏｓθ−（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｓｉｎθ，（ｒ”−ｒθ’^2）ｓｉｎθ＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｃｏｓθ＋ｒθ’ｃｏｓθ）
ここで，
ｅr＝（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）
ｅθ＝（−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ）
すなわち，ｅrはｒ方向の単位ベクトル，ｅθはそれと直交する単位ベクトルとすると
ｖ＝ｒ’ｅr＋ｒθ’ｅθ
ｖ’＝（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ
ニュートンの運動法則：Ｆ＝ｍｖ’と万有引力の法則より
ｍ｛（ｒ”−ｒθ’^2）ｅr＋（ｒθ”＋２ｒ’θ’）ｅθ｝＝−ＧＭｍ／ｒ^2ｅr
ですから，
ｒ”−ｒθ’^2＝−ＧＭｍ／ｒ^2
ｒθ”＋２ｒ’θ’＝０
が成り立っていなければなりません．
角運動量Ｌは位置ベクトルｒと運動量ｍｖの外積で定義され，その大きさは｜ｒ×ｍｖ｜＝ｍｒ^2θ’で表されるのですが，
ｄ（ｍｒ^2θ’）／ｄｔ＝ｍｒ（ｒθ”＋２ｒ’θ’）＝０
より，
ｍｒ^2θ’＝ｃ（一定）
これは角運動量保存則にほかなりません．
一方，面積速度は
Ｓ（θ）＝1/2∫｛ｒ（θ）｝^2ｄθ，ｄＳ／ｄθ＝1/2｛ｒ（θ）｝^2
より
ｄＳ（θ）／ｄｔ＝1/2ｒ^2ｄθ／ｄｔ＝1/2ｒ^2θ’
角運動量が時間によらないわけですから，面積速度ｄＳ／ｄｔも時間によらず一定
ｃ／（２ｍ）
となるわけです．
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［Ｑ２］ニュートンの法則からケプラーの第３法則を導け（ニュートンからケプラーへ）．
［Ａ２］近似的に，太陽の周囲を公転する惑星の軌道が円であると仮定する．公転軌道半径Ｒ，公転角速度ω，公転周期Ｔとすると，
ｍＲω^2＝ＧＭｍ／Ｒ^2
ω＝√ＧＭ／Ｒ^3
Ｔ^2＝（２π／ω）^2＝４π^2Ｒ^3／ＧＭ
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【２】ケプラーからニュートンへ
ケプラーの法則の発見には，火星の公転周期と地球の公転周期の最小公倍数の年数の観測が必要になり，それがティコ・ブラーエの行なった約２０年分の観測データに当たります．当時望遠鏡は発明され，ガリレオ・ガリレイは２０倍の天体望遠鏡を作成し，１６１０年に木星の４個の衛星と土星の輪を発見していますが，ティコ・ブラーエの観測は望遠鏡を使っていません．それでもティコ・ブラーエの観測は肉眼で最高の精度であったといわれています．（それにしてもどうやって精密な観測をやったのでしょうか？）
ティコ・ブラーエの観測結果を手に入れられたこと自体が幸運だったのですが，観測の対象として火星を選んだことが，まことに幸運な選択でした．楕円がどのくらいひしゃげているかを表す指標が離心率です．離心率が増すにつれて楕円はより押しつぶされた形になり，極端な楕円を描く惑星が水星（離心率：０．２０６）と冥王星（離心率：０．２４９）です．水星は０．２０６でかなり大きいのですが，あまりにも太陽に近いために太陽の光にさえぎられてなかなか観測が難しく，また，天王星，海王星，冥王星はケプラーの時代からずっとあとに発見されました．金星と地球の離心率はそれぞれ０．００６７８，０．０１６７で，０つまり円に近いわけです．ところが，火星の離心率は０．０９３で，地球よりだいぶ大きく，地球の外側にあるので観測しやすい惑星でもありました．
ケプラーは，最初，火星の軌道は中心が偏った円軌道（偏心円）であるという仮定から出発したのですが，偏心円軌道では惑星間の距離が自分の理論に合わないことに気がつき，その後，軌道は円ではなく，ある種の卵形ではないかと思うようになり，観測結果から惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道上を動くという仮説をたてざるを得ないと考えるようになったのです．楕円軌道ではその形を決める離心率が小さい場合，中心が偏った円軌道（偏心円）とのあいだにごくわずかな差しか見られないのですが，火星は偏心円軌道からのずれをはっきり示し，惑星の軌道は偏心円ではなく楕円であるという結論を得ることができたのは火星の小さいが重要なずれのおかげです．軌道が円に近い他の惑星だったら気がつかなかったのではないかと思われるのですが，ちなみに当時発見されていた他の惑星の離心率をみてみると木星は０．０４８，土星は０．０５６です．火星の軌道は円とはかけ離れていることが幸いしたといってよいでしょう．
コペルニクスの地動説（heliocentric theory：太陽中心体系）はそれまで宇宙の中心と信じられてきた地球（geocentric theory）を一つの惑星と考え，地球中心のモデルを捨て去り太陽中心体系を確立することによって，地球を自己中心的な位置から解放しました．そして，ケプラーが円の呪縛すなわち完全な等速円運動に固執するコペルニクス・ドグマを断ち切ったのです．
惑星の軌道は完全な円ではなく離心率のごく小さな楕円を描き（不等速楕円運動），太陽はその楕円の１つの焦点の位置にあるわけですが，偏心率の大きな楕円を描く惑星が火星だったというわけです．
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ケプラーの法則の発見は天文学の歴史の中における輝かしい発見であるばかりでなく，ニュートンやライプニッツによりほとんど同時に開拓された微分積分学という数学の革新的方法によって，この法則の背後にある本質的な自然界の法則，すなわち，ニュートンの万有引力の法則の発見（「自然哲学の数学的原理：プリンキピア」１６８７年）へと統合され，帰結していくという歴史をたどることになりました．
ニュートンの業績は，ケプラーによる惑星の運動法則とガリレオによる落体の運動法則から天上と地上の運動を統一させた力学を作り上げ，リンゴが落ちるのと地球が太陽のまわりを周回するのが同じ力の遠隔作用＜万有引力＞によることを確立したこと，さらに，そのための方法として微分積分学を体系づけたことにあります．ガリレオの放物線とケプラーの楕円は物理現象の記述に円と直線以外の円錐曲線が使われた科学史上初の出来事になっていて，外見の違う現象が統一原理で結ばれる１つの実例になりました．これらの結果を基礎としてニュートンはすばらしい重力理論を作り上げたことになるのですが，ケプラーやガリレオなしにニュートンの成果は生まれ得なかったであろうと思われます．天空と地上の二つのことが，二人の一種の分業によって高い水準まで達したのですが，それがニュートンによって統合されたのです．
ニュートンの仕事は，物理現象の知識を数学を用いて獲得することに成功した例であり，ニュートンの法則を使えばケプラーの法則を導くことができます．逆に，数学が物理現象を探し求める助けとなった顕著な例として，海王星の存在を純粋に理論的に予言した事実をあげることができます．
１８２０年頃，天王星の運動に不可解な偏差が観察されました．ニュートンの万有引力の理論から，天王星の運動の乱れは未知の惑星の引力によるものと予想されていましたが，一種の逆問題によって未知の惑星の質量と軌道が導かれました．天王星のずれから，未知の惑星の位置を予測したのはフランスのルヴェリエとイギリスのアダムスです．その惑星は海王星と名付けられたが，海王星は当時の望遠鏡でやっと見えるほどであり，位置の予測がなければ発見することはできなかったと思われます．
ニュートンの「万有引力の法則」は天体力学の基礎をなし，ロケットや人工衛星の軌道の決定のような事柄においては今日でもまだその役割を果たしているのですが，その後もＧＰＳ，カーナビなどニュートンの法則が使われている事柄を挙げればきりがありません．
ニュートンは，逆２乗則にしたがう引力が宇宙のどの場所においてもどんな２つの物体の間にも例外なく存在するはずだという実に大きな知的飛躍を試みて大成功をおさめ，ニュートン以来の古典力学は解析力学という形で一応の完成をみました．もちろん，現在の科学はニュートン力学だけでは不十分で，光の速度に近いような非常に速い物体，原子とか量子とか非常に小さい物体の運動法則はもはやニュートン力学ではうまく説明できません．そこで，アインシュタインの相対性理論という新しい力学が出現したのです．しかし，運動する速度があまり大きくない物体の運動，たとえば，人工衛星の運動ではニュートン力学は実にうまくあい，相対性理論を使う必要はまずありません．
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