（その１）（その２）では黄金比などが２次方程式の解になっているを使って，その連分数表示を求めましたが，今回のコラムではその補足をしたいと思います．

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【１】平方根と連分数展開

　実数ｘの整数部分，小数部分を

　　ｘ＝［ｘ］＋｛ｘ｝

で表します．同様に，連分数表示を整数部分と小数部分に分けます．

　　［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞

　　［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・＞

　たとえば，小数部分＜ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞となる数をｘとおくと，

　　ｘ＝１／（ｂ＋ｘ）　→　ｘ＝（√（ｎ^2＋４）−ｎ）／２

このように循環連分数は整数係数の２次方程式の解となります（ラグランジュの定理）．

　　（√５−１）／２＝［０：１，１，１，，１，・・・］

　　√２−１＝［０：２，２，２，２，・・・］

　　（√１３−３）／２＝［０：３，３，３，３，・・・］

　＜１，１，１，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（１＋ｘ）の正の解（√５−１）／２に収束します．この近似分数は，フィボナッチ数列

　　ａ0＝０，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋ａn+1

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

の相隣る２項の比となります．

　また，＜２，２，２，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（２＋ｘ）の正の解√２−１に収束します．この近似分数は，数列

　　ａ0＝１，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋２ａn+1

　　１，２，６，１２，２９，７０，・・・

の相隣る２項の比となります．この数列は√２−１の最良近似数列です．

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【２】ラグランジュの定理・再訪

　連分数展開が有限で終わることと有理数であることは同値です．そこで，２次方程式の解となる√ｎの連分数展開を求めると，たとえば

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

　　√３＝［１：１，２，１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√７＝［２：１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

のように循環型の単純連分数に展開されることが知られています．一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．

　平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）　　　　２＜√２＋１＜３

　　　　＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

ができあがります．また，黄金比φ＝（１＋√５）／２は，

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

で表されます．黄金比φ＝（１＋√５）／２が，無限連分数

　　φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］

や無限の入れ子の根号

　　φ＝√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・

で３通りにも表されるという事実は魔法のようにさえ思えます．

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