（その３７）において，私自身，デーン不変量について誤解していたことを述べた．

　誤解を生じさせた原因について，あらためて考えてみると

［１］いささか意外なことに，４次元正１２０胞体の二胞角は正確に１４４°で，正十角形の内角に等しい．

［２］４次元空間ですべて正四面体でできている正５胞体，正１６胞体，正６００胞体の３個の正多胞体の胞の間の角の和は３６０°である．

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　これらの対策について調べてみると，

［１］１４４°と９０°とは有理数比になっているが，正１２０胞体は５回の回転対称性をもち，正８胞体に解体再編されない．

［２］胞の間の角の和が３６０°になることは充填形の必要条件であるが，十分条件とは限らない．実際，正５胞体，正１６胞体，正６００胞体の３個の正多胞体の組み合わせでは充填形はできない．それは正６００胞体は５回の回転対称性をもち，古典的結晶学の充填群と合わないせいである．

　二胞角が直角と有理比になるかどうかでラベルすると

　　　　　　二胞角

５胞体　　　　Ａ

８胞体　　　　Ｂ

１６胞体　　　Ｂ

２４胞体　　　Ｂ

１２０胞体　　Ｂ

６００胞体　　Ａ

の２群となるが，［１］［２］のことから２πの整数分の１になるかどうかで元素数の下限を決定するほうが簡単かつ有用である．

　４次元デーン不変量は８胞体に解体再編されるかどうかの指標であって，したがって，８胞体に解体再編されるかどうかでもってラベルすると

　　　　　　二胞角

５胞体　　　　Ａ

８胞体　　　　Ｂ

１６胞体　　　Ｂ

２４胞体　　　Ｂ

１２０胞体　　Ｃ

６００胞体　　Ｄ

の４群ということになる（元素数４以上）．

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