今回のコラムでは，本来の位置で基本単体をＲＰを作る超平面で切った切片を考えてみる．その切片は多分全部で４種類になると予想される．基本単体１６個（＝３８４／２４）でＲＰが構成できれば万々歳であるが，そうは問屋が卸さないのである．
しかし，その切片を組み立て直せば基本単体にもＲＰにもなるから，有望な４次元の素片としての価値があるだろう．
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【１】もうひとつの基本単体の分割
基本単体の対角線の中点
（１／２，１／２，１／２，１／２）
を通る超平面
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２
は４次元立方体の頂点
（２，０，０，０）
も通ります．
そこで，基本単体
ｐ0（０，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
の鏡像体を
ｐ0（２，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
とおいて，各辺の交点を求めてみることにします．
直線ｐ0ｐ4は
−（ｘ1−２）＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4
で表されます．したがって，ｐ0ｐ4との交点は
（２，０，０，０）
直線ｐ1ｐ4は，
ｘ1＝１，ｘ2＝ｘ3＝ｘ4
したがって，ｐ1ｐ4との交点は（１，１／３，１／３，１／３）
直線ｐ2ｐ4は，
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ3＝ｘ4
したがって，ｐ2ｐ4との交点は（１，１，０，０）となってｐ2と一致します．
直線ｐ3ｐ4は，
ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝１
したがって，解は（１，１，１，−１）となってｐ2ｐ4とは交わりません．
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次にｐ0を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ0ｐ1は
ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝０
ですから，ｘ1＝２となって，交点は（２，０，０，０）
直線ｐ0ｐ2は
−（ｘ1−２）＝ｘ2，ｘ3＝ｘ4＝０
ですから，線分ｐ0ｐ2全体が交線となります．
直線ｐ0ｐ3は
−（ｘ1−２）＝ｘ2＝ｘ3，ｘ4＝０
ですから，ｘ1＝２，ｘ2＝ｘ3＝０となって，交点は（２，０，０，０）となります．
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次にｐ1を通る直線の場合を調べてみます．直線ｐ1ｐ2は
ｘ1＝１，ｘ3＝ｘ4＝０
ですからｘ2＝１．したがって，交点は
（１，１，０，０）
となり，ｐ2と一致します．
直線ｐ1ｐ3は
ｘ1＝１，ｘ4＝０
ですから，ｘ2＝ｘ3＝１／２．交点は
（１，１／２，１／２，０）
となります．
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ｐ2を通る直線ｐ2ｐ3では
ｘ1＝ｘ2＝１，ｘ4＝０
ですからｘ3＝０．したがって，交点は
（１，１，０，０）
となり，ｐ2と一致します．
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【２】切片の計量
この切片はどのような形になっているのだろうか？ 基本単体の頂点
ｐ0（２，０，０，０）
ｐ1（１，０，０，０）
ｐ2（１，１，０，０）
ｐ3（１，１，１，０）
ｐ4（１，１，１，１）
と前節で求めた４交点
（２，０，０，０）
（１，１／３，１／３，１／３）
（１，１，０，０）
（１，１／２，１／２，０）
はすでにわかっている．また，４次元の立方体の基本単体の稜数は１０であるから，これ以外に交点はない．
切り口は（３次元）四面体で，直角三角形４枚よりなる．
１：√３：２（正三角形の半分）
１：√８：３
２：√８：√１２
√３：３：√１２（正三角形の半分）
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≦２の部分をとると，５頂点
ｑ0（２，０，０，０）
ｑ1（１，０，０，０）
ｑ2（１，１，０，０）
ｑ3（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ4（１，１／２，１／２，０）
が頂点となる．これは単体（５胞体）で，ｑ1を除く点は超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にあるから，（３次元）四面体を底とし，４個の四面体が一頂点に集まった４次元の「４面体角錐」である．
辺の長さは
ｑ0ｑ1＝１，ｑ0ｑ2＝√２，ｑ0ｑ3＝√（４／３），ｑ0ｑ4＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝√（１／３），ｑ1ｑ4＝√（１／２）
ｑ2ｑ3＝√（２／３），ｑ2ｑ4＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（１／６）
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それに対して，ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4≧２の部分をとると，６頂点
ｑ0（２，０，０，０）
ｑ1（１，１，１，１）
ｑ2（１，１，１，０）
ｑ3（１，１，０，０）
ｑ4（１，１／３，１／３，１／３）
ｑ5（１，１／２，１／２，０）
が頂点となる．これは６胞体で，ｑ1，ｑ2を除くと超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２上にある．
辺の長さは
ｑ0ｑ1＝２，ｑ0ｑ2＝√３，ｑ0ｑ3＝√２，ｑ0ｑ4＝√（４／３），ｑ0ｑ5＝√（３／２）
ｑ1ｑ2＝１，ｑ1ｑ3＝√２，ｑ1ｑ4＝√（４／３），ｑ1ｑ5＝√（３／２）
ｑ2ｑ3＝１，ｑ2ｑ4＝１，ｑ2ｑ5＝√（１／２）
ｑ3ｑ4＝√（２／３），ｑ3ｑ5＝√（１／２）
ｑ4ｑ5＝√（１／６）
となることがわかる．
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