３次元正多面体の元素定理の本質はＲＴ（trirectangular tetrahedron）にあった．また，３次元平行多面体の元素定理の本質は立方体の基本単体ＦＳ（quadrirectangular tetrahedron）にあった．

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩で正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類ある．そして，４次元空間においてＲＴの４次元版であるＲＰと４次元超立方体の基本単体は接点をみせるのである．

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【１】４次元超立方体の基本単体の計量

　基本単体は重直角三角錐の拡張となる「多重直角単体」で，基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量である．

　ｎ次元の立方体の基本単体数ｇは

　　ｇ＝２^n・ｎ！

となる．４次元の場合，これが３８４個で４次元立方体（正８細胞体）を組み立てることができる．また，辺の長さはすべて１，√２，・・・，√ｎである．

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【２】ＲＴ，ＲＰ，・・・の計量

　辺の長さ１，√２のこの図形２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は正２ｎ胞体と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

　ｎ次元立方体の基本単体は当然space fillerであるが，もうひとつの直角三角錐であるＲＴ，ＲＰ，・・・は一般にspace fillerではない．しかし，４次元の特殊性から，ＲＰ２４個で正８胞体，ＲＰ１６個で正１６胞体，ＲＰ１９２個で正２４胞体を組み立てることができるのである．正８胞体，正１６胞体，正２４胞体は空間充填図形であるから，ＲＰは当然space fillerである．

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【３】両者の接点

　４次元平行多面体の元素のひとつが４次元超立方体の基本単体であること，４次元正多面体の元素のひとつがＲＰであることより，４次元超立方体の基本単体と４次元ＲＰとが同一素片で構成できるかという問題は当面重要である．

　４次元特有の現象として，超立方体から８個のＲＰを切り落とした残りは正１６胞体であり（向きは変わるが）１６個のＲＰで構成できる．したがって，て超立方体は２４個のＲＰで構成できる．一方，超立方体の基本単体は３８４個ある．

　基本単体１６個（＝３８４／２４）でＲＰが構成できれば万歳である．直観がきかないのではあるが，構成可能であるとすれば，

　　基本単体１６×２４＝３８４個→４次元立方体（正８胞体）

　　基本単体１６×１６＝２５６個→正１６胞体

　　基本単体１６×１９２＝３０７２個→正２４胞体

を組み立てることができるものと思われる．

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【４】注意

　私自身も誤解していましたが，４次元の正１６胞体は平行多面体ではありません．空間充填形ではありますが，そのためには平行移動したものだけでは済まず，回転させた位置のものが不可欠です．

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