多面体Ｐに対し各辺のまわりの二面角をδiとすると，デーン不変量δ（Ｐ）はすべての辺で二面角の和をとり，ｍｏｄ　πで還元したものとして定義される．

　　δ（Ｐ）＝Σｎiδi　　　（ｍｏｄ　π）

　５種類ある平行多面体の元素数は１であることが成り立ったのは，平行多面体が空間充填多面体であって，その二面角がπと通約できることに基づいている．すなわち，平行多面体のデーン不変量はすべて等しい（０である）からである．

［１］８次元立方体と８次元正四面体の両者を共通の片から構成する

［２］８次元立方体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成する

［３］８次元正四面体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成する

というのは，両者のデーン不変量が異なるから無理である．したがって，元素数が２であると仮定すると矛盾を生じるので，元素数は３となる．

　８次元でなく，３次元の場合であっても

［４］３次元正四面体と３次元正八面体の両者を共通の片から構成する

ことは，両者のデーン不変量が異なるから無理である．

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【１】３次元正多面体の元素数

　３次元のデーン不変量の結果を振り返ってみよう．３次元では５種類ある正多面体の元素数は４であることが証明された．どうしてもそれだけの元素が要るという必要条件は

　　ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ8＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

であるが，δ8＝π−δ4より，

　　（ｎ1−ｎ3）δ4＋ｎ2δ6＋ｎ4δ12＋ｎ5δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

実際，

　　２立方体←→２正四面体＋正八面体　

に解体再編されるから，δ8を消去できる．

　δ6＝π／２であるからさらにδ6も外すことができて

　　Ｎ1δ4＋Ｎ2δ12＋Ｎ3δ20≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．これは，デーンの定理（１９０１年）

　　Ｎ1δ4≠０　　（ｍｏｄ　π）

の一般化に他ならない．

　３次元の場合を直観的に理解するため，ラベルしてまとめると

　　　　　　二面角

４面体　　　　Ａ

６面体　　　　Ｂ

８面体　　　　Ａ

１２面体　　　Ｃ

２０面体　　　Ｄ

の４群ということになる（元素数４以上）．

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【２】４次元正多面体の元素数

　　　　　　　二胞角

５胞体　　　　δ1＝ａｒｃｃｏｓ（１／４）

８胞体　　　　δ2＝π／２

１６胞体　　　δ3＝２π／３

２４胞体　　　δ4＝２π／３

１２０胞体　　δ5＝４π／５

６００胞体　　δ6＝ａｒｃｃｏｓ（−（１＋３√５）／８）

　８胞体，１６胞体，２４胞体はいずれも空間充填多面体であって，そのデーン不変量はすべて等しい（０である）．実際，

　　８×８胞体←→１２×１６胞体←→２４胞体

の解体再編が成り立つ．

　しかし，１２０胞体は二面角が直角と有理比ではあっても２πの整数分の１ではないので，空間充填多面体ではない．すなわち，８胞体，１６胞体，２４胞体のデーン不変量とは異なる．

　また，δ1＋δ6＝４π／３（→δ1＋δ3＋δ6＝２π）であるが，

　　ｎ1δ1＋ｎ2δ2＋ｎ3δ3＋ｎ4δ4＋ｎ5δ5＋ｎ6δ6≠０　　（ｍｏｄ　π）

にδ6＝４π／３−δ1を代入して，δ6を消去し

　　Ｎ1δ1＋Ｎ2δ2＋Ｎ3δ3＋Ｎ4δ4＋Ｎ5δ5≠０　　（ｍｏｄ　π）

とするのは錯覚である．δ1＋δ6＝４π／３も直角と有理比ではあっても，２πの整数分の１ではなく，８胞体に解体再編されないというのがその理由である．

　したがって，８胞体に解体再編されるかどうかでもってラベルすると

　　　　　　二胞角

５胞体　　　　Ａ

８胞体　　　　Ｂ

１６胞体　　　Ｂ

２４胞体　　　Ｂ

１２０胞体　　Ｃ

６００胞体　　Ｄ

の４群ということになる（元素数４以上）．

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【３】ｎ（≧５）次元正多面体の元素数

　　　　　　　二胞角

正単体　　　　δ1＝ａｒｃｃｏｓ（１／ｎ）

超立方体　　　δ2＝π／２

正軸体　　　　δ3＝ａｒｃｃｏｓ（−（ｎ−２）／ｎ）

　超立方体の二胞角はつねにπ／２で，何次元であっても空間充填形になる．正単体の二胞角はｎ＝２以外には２πの整数分の１にならないので，ｎ≧５では正単体による充填形はできない．正軸体の二胞角はｎ＝２，ｎ＝４以外には２πの整数分の１にならないので，同じことがいえる．

　したがって，

　　　　　　二胞角

正単体　　　　Ａ

超立方体　　　Ｂ

正軸体　　　　Ｃ

の３群ということになる（元素数３以上）．

　少し気にかかるのは８次元の場合である．ｎ≧５のとき，８次元の場合だけ

　　δ1＋２δ3＝２π

なる関係が成立するが，このときも直角と有理比ではあっても，２πの整数分の１ではなく，超立方体に解体再編されない．実際，

　　１７２８０×正単体＋２１６０×正軸体→超立方体ではない亜正多面体

である．よって，ｎ（≧５）次元正多面体の元素数は３であることが確定する．

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【４】デーン不変量についての小括

　デーン不変量は分割合同の分割線が辺の上にあるときはいいのであるが，３次元の正４面体と正８面体の組み合わせでは

　　δ4＋δ8＝π（これは空間充填形で，２πの整数分の１）

で分割線が面の上にあり立方体に解体再編されるため，どちらか一方を消去することができる．

　４次元のδ1＋δ6＝４π／３＞π

　　　　→δ1＋δ3＋δ6＝２π＞π（これは空間充填形ではない），

　８次元のδ1＋２δ3＝２π＞π（これは空間充填形ではあるが）

の場合，２πの整数分の１にならず分割線が内部にあることになり，超立方体に解体再編されない．そのため，消去できず独立と考えられるのである．

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【５】結論

　このシリーズではこれまで直角三角錐（ＲＴ，ＲＰ，・・・）がｎ次元の正多面体の元素定理の本質をなしていることをつきとめた．３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きであろう．

　ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

［１］元素数の減少が起こる理由

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

［２］元素数の減少が起こらない理由

　５次元以上の空間では直角三角錘をn-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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