（その３５）では，８次元の充填形

［１］単一種による空間充填の例：８次元立方体

［２］複数の種類による空間充填例：８次元正四面体＋８次元正八面体

で，正軸体と正単体から超立方体を構成するのは無理ということがわかった．

　もし，８次元正多胞体の元素数が２であるならば，

［１］８次元立方体と８次元正四面体の両者を共通の片から構成できる

［２］８次元立方体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成できる

［３］８次元正四面体と８次元正八面体の両者を共通の片から構成できる

のいずれかであるが，［１］［２］は３次元のデーン不変量の結果と類似の関係が成立するから無理．

　８次元正多胞体の元素数が２であることをいうために［３］についてもいろいろ暗中模索してみたが，実りはなかった．［３］も二胞角が

　　ａｒｃｏｃｓ（１／４）＋２×ａｒｃｏｃｓ（−３／４）＝２π

ではあるが，互いに有理比でない角である以上，多分無理であろう．最初から無理な類推，無理な仮説であったのかもしれない．

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　ところで，（その３５）で述べたＥ8の亜正多面体の体積は正しいが，あの図形が空間充填形になるように思ったのは錯覚であった．単独で８次元空間の充填形になるのは格子のボロノイ領域で，それは１７２８０個の正単体の１／９（ひとつの頂点が最も近い部分）と２１６０個の正軸体の１／１６（ひとつの頂点が最も近い部分）から成り立つ．

　その体積は

　　正単体の体積３／２^4８！×１／９×１７２８０＝１／１１２

　　正軸体の体積２^4／８！×１／１６×２１６０＝６／１１２

の合計（１＋６）／１１２＝１／１６で，案外簡単な数になる．

　この図形は８次元の平行面体（平行移動で面を貼り合わせて空間充填形になる）のひとつである．これ以上分解して，ひとつの素片だけから組み立てようというのは無理であろう．

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