３次元では正四面体と正八面体の二面角が直角と有理比の補角（１８０°）になる．４次元では正１６胞体，正２４胞体の二面角が１２０°，正５胞体と正６００胞体の二面角が直角と有理比の補角（２４０°）になる．

　それでは，５次元以上の正多胞体ではどうだろうか？　８次元正多胞体で

　　８次元正単体の二胞角＋２×８次元正軸体の二胞角＝３６０°

になる．今回のコラムでは，複数の種類による空間充填例はこれ以外にないことを証明してみたい．

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【１】５次元以上の正多胞体

　正２ｎ胞体の二面角はつねに９０°であるが，５次元以上の空間では正ｎ＋１胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ

正２^n胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ2＝（２√（ｎ−１））／ｎ

であり，二面角はｎとともに増加しそれぞ９０°，１８０°に近づく．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋δ2

2 60.0001 90.0001 150

3 70.5288 109.471 180

4 75.5226 120 195.523

5 78.4631 126.87 205.333

6 80.406 131.81 212.216

7 81.7868 135.585 217.372

8 82.8193 138.59 221.41

9 83.6207 141.058 224.678

10 84.2609 143.13 227.391

11 84.7842 144.903 229.687

12 85.2199 146.443 231.663

13 85.5883 147.796 233.384

14 85.904 148.997 234.901

15 86.1775 150.074 236.251

16 86.4168 151.045 237.462

17 86.6278 151.927 238.555

18 86.8153 152.734 239.549

19 86.9831 153.475 240.458

20 87.1341 154.158 241.292

　二面角が４直角の整数分の１にならないのは，４次元において二面角がそれぞれ７２°と１２０°よりも大きくなるからである．また，このことから５次元以上の空間では３種の正多胞体しかありえないことになる．

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【２】８次元の特殊性

　さらに，このことから５次元以上の空間で，正ｎ＋１胞体と正２^n胞体の二面角が２直角にはなるのは，

　　δ1＋２δ2＝３６０°

の場合に限られることもわかるだろう．

　　ｃｏｓ２δ2＝（ｎ^2−８ｎ＋８）／ｎ^2

　　ｓｉｎ２δ2＝−４（ｎ−２）√（ｎ−１）／ｎ^2

　　ｃｏｓ（δ1＋２δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓ２δ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎ２δ2＝＝（ｎ^2−８ｎ＋８＋４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１））／ｎ^3＝１

　　ｎ^3−ｎ^2＋８ｎ−８＝４（ｎ−１）（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2＋８＝４（ｎ−２）√（ｎ＋１）

　　ｎ^2（ｎ−８）^2＝０

　すなわち，８次元においてδ1＋２δ2＝３６０°となるが，２種の二胞角で，その和が３６０°になり，空間充填形を構成できるのは，ｎ≧５のときは８次元の場合だけである．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋２δ2

2 60.0001 90.0001 240

3 70.5288 109.471 289.471

4 75.5226 120 315.522

5 78.4631 126.87 332.203

6 80.406 131.81 344.027

7 81.7868 135.585 352.956

8 82.8193 138.59 360

　　ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　＝ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２π−ａｒｃｃｏｓ（１／８）＝２π

となって，解析的にも確かめられた．

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