（その１７）で扱った問題は「３次元では正四面体と正八面体の二面角が直角と有理比の補角（１８０°）になる．４次元では正１６胞体，正２４胞体の二面角が１２０°，正５胞体と正６００胞体の二面角が直角と有理比の補角（２４０°）になる．それでは，５次元以上の正多胞体ではどうだろうか？」というものである．

　（その１０）では，ｎ（≧５）次元の正多胞体元素定理を証明したが，このことを確認しない限り証明には不備があると思われから問題にしたわけである．そのときはこれ以外にはないという結論に至ったのであるが，８次元正多胞体で反例が見つかった．

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【１】５次元以上の正多胞体

　５次元以上の空間では３種の正多胞体しかない．そのうち，正２ｎ胞体の二面角はつねに９０°であるが，５次元以上の空間では正ｎ＋１胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ1＝１／ｎ，ｓｉｎδ1＝√（ｎ^2−１）／ｎ

正２^n胞体の二面角は

　　ｃｏｓδ2＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδ1＝（２√（ｎ−１））／ｎ

であり，二面角はｎとともに増加しそれぞ９０°，１８０°に近づく．

　反例というのは，８次元においてδ1＋２δ2＝３６０°というものであるが，２種の二胞角で，その和が３６０°になり，空間充填形を構成できるのは，ｎ≧５のときは８次元の場合だけである．

ｎ　　　　　　　δ1　　　　　δ2　　　　　δ1＋２δ2

2 60.0001 90.0001 240

3 70.5288 109.471 289.471

4 75.5226 120 315.522

5 78.4631 126.87 332.203

6 80.406 131.81 344.027

7 81.7868 135.585 352.956

8 82.8193 138.59 360

　　ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　＝ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２π−ａｒｃｃｏｓ（１／８）＝２π

となって，解析的にも確かめられた．

　証明したつもりで安心してはいたのであるが，有理比どころか整数比となるような反例が見つかったことは衝撃的であった．なぜなら，これらが有理比にならないことを保証しているのが正多胞体元素定理であるからである．

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【２】ｎ（≧５）次元の正多胞体元素定理・再考

　　正ｎ＋１胞体　→　ｃｏｓδa＝１／ｎ，ｓｉｎδa＝√（ｎ^2−１）／ｎ

　　正２ｎ胞体　→　ｃｏｓδb＝０，ｓｉｎδb＝１

　　正２^n胞体　→　ｃｏｓδc＝−（ｎ−２）／ｎ，ｓｉｎδc＝２√（ｎ−１）／ｎ

より，

　　ｕ＝１／ｎ＋√（ｎ^2−１）／ｎｉ

　　ｖ＝ｉ

　　ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋√（ｎ−１）／ｎｉ

とおく．｜ｕ｜＝１，｜ｖ｜＝１，｜ｗ｜＝１

　３種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠ｋπ

　　ｎ1δa＋ｎδb＋ｎ3δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

は，δb＝π／２より，

　　Ｎ1δa＋Ｎ2δc≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．

　ｕ＝１／ｎ＋ｉ√（ｎ^2−１）／ｎについては，

　　ｕ−１／ｎ＝ｉ√（ｎ^2−１）／ｎ

より，ｕは２次方程式ｎｕ^2−２ｕ＋ｎ＝０の解である．

　　ｎｕ^2＝２ｕ−ｎ

　　ｎ^2ｕ^3＝２ｎｕ^2−ｎ^2ｕ＝２（２ｕ−ｎ）−ｎ^2ｕ

　　　　　　＝（４−ｎ^2）ｕ−２ｎ

帰納法により

　　ｎ^m-1ｕ^m＝ａ1ｕ＋ｂ1　　　（ａ1≠０，ｂ1＝０　ｍｏｄ　ｎ）

を示すことが出来る．

　同様に，ｗ＝−（ｎ−２）／ｎ＋２√（ｎ−１）／ｎｉについては，

　　ｗ＋（ｎ−２）／ｎ＝ｉ２√（ｎ−１）／ｎ

より，ｗは２次方程式ｎｗ^2＋２（ｎ−２）ｗ＋ｎ＝０の解であり，

　　ｎ^m-1ｗ^m＝ａ2ｗ＋ｂ2　　　（ａ2≠０，ｂ2＝０　ｍｏｄ　ｎ）

がいえる．

　ここで，複素数の積

　　Ｚ＝ｎ^Ｎ1-1ｕ^Ｎ1・ｎ^Ｎ2-1ｗ^Ｎ2

を考える．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応し，実数ｎ^Ｎ1-1，ｎ^Ｎ2-1の偏角はすべて０であるから，Ｚの偏角

　　Ａｒｇ（Ｚ）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）＝Ａｒｇ（ｕ^Ｎ1）＋Ａｒｇ（ｗ^Ｎ2）

がｎπにならないこと，すなわち，ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2の虚部

　　Ｉｍ（ｕ^Ｎ1・ｗ^Ｎ2）

が０にはならないことがいえればよいことになる．

　結局

　　Ｚ＝（ａ1ｕ＋ｂ1）（ａ2ｗ＋ｂ2）＝Ｒｅ＋Ｉｍｉ

　　Ｉｍ≠０

　　ａ1≠０，ｂ1＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

　　ａ2≠０，ｂ2＝０　　　（ｍｏｄ　ｎ）

に帰着されれば，Ｎ1δa＋Ｎ2δcは有理係数で線形独立であり，必要な原子が最低３種類という結論が主張できることになる．

　　Ｉｍ＝√（ｎ−１）／ｎ^2｛２ａ2（ａ1＋ｂ1ｎ）＋ａ1（−ａ2（ｎ−２）＋ｂ2ｎ）√（ｎ＋１）｝

と展開され，Ｉｍ≠０ならば，ｎ（≧５）次元の正多胞体の元素数は≧３であることがいえるが，√（ｎ＋１）が整数のとき，すなわち，

　　ｎ＝８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・

などでは，正多胞体の元素数は≧２である可能性があることになる．

　８次元，２４次元という数字にどのような意味があるかというと，実はこの２つの次元はかなり特別な意味をもっていて，高度に対称的な格子状配置になっているため接吻数（τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０）が計算できる特殊な次元なのである．実際に，８次元空間ではδ1＋２δ2＝３６０°に対応する空間充填形を２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせて構成することができる．

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【３】幾何学的な事情

　ｎ≠８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・では，正多胞体の元素数は≧３であるが，それ以外では元素数は≧２である可能性を述べた．しかし，そこには別のもっと深い幾何学的な事情があり，ｎ（≧５）次元正多胞体の元素数は≧３であると考えられる．その理由を述べてみたい．

　このシリーズではこれまで直角三角錐（ＲＴ，ＲＰ，・・・）がｎ次元の正多面体の元素定理の本質をなしていることをつきとめた．３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きであろう．

　ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

［１］元素数の減少が起こる理由

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

［２］元素数の減少が起こらない理由

　５次元以上の空間では直角三角錘をn-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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【４】まとめ

　３次元と４次元の２つの次元は「元素数の減少が起きる」かなり特別な意味をもっている．また，ｎ＝３のとき√（ｎ＋１）は整数になるから，

　　ｎ＝８，１５，２４，３５，４８，６３，８０，９９，１２０，・・・

と同類であり，４次元空間だけが非常に特殊であると考えることもできる．

　空間や次元によって「直角」の性質は異なる．しかし，そこには単に微分トポロジーの話だけでなく，非常に単純でありながらもっと深い幾何学的な事情があることがおわかりいただけたであろうか．

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