不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　ａ，ｂ，ｃがすべて整数の例があるだろうか？

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　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓＣとおくと

　　λａ^2＋ｂ^2−２（１＋λ）ａｂｃｏｓＣ＝０

λ＝２のとき，

　　ｂ^2−６ａｂｃｏｓＣ＋２ａ^2＝０

　ｂに関する２次方程式の解の公式を使って

　　ｂ＝３ａｃｏｓＣ±｛（３ａｃｏｓＣ）^2−２ａ^2｝^1/2

　　ｂ／３ａ＝ｃｏｓＣ±｛ｃｏｓＣ^2−２／９｝^1/2

　たとえば，ｃｏｓＣ＝１１／１８のとき，右辺は有理数となり，

［１］ｂ／３ａ＝ｃｏｓＣ＋｛ｃｏｓＣ^2−２／９｝^1/2＝１

［２］ｂ／３ａ＝ｃｏｓＣ−｛ｃｏｓＣ^2−２／９｝^1/2＝２／９

［１］ｂ＝３ａ＝ｋｃ　　（ｋは有理数）とおく．

　　ａ^2＋２ｂ^2＝１９ａ^2＝１９（ｋｃ／３）^2＝３ｃ^2

　　ｋ^2＝２７／１９となり，ｋは有理数という仮定に反する．

［２］ｂ＝２ａ／３＝ｋｃ　　（ｋは有理数）とおく．

　　ａ^2＋２ｂ^2＝１７ａ^2／９＝１７（３ｋｃ／２）^2／９＝３ｃ^2

　　ｋ^2＝１２／１７となり，ｋは有理数という仮定に反する．

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　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃｃｏｓＡとおくと

　　（１＋λ）ｂ^2−λｃ^2−２ｂｃｃｏｓＡ＝０

λ＝２のとき，

　　３ｂ^2−２ｂｃｃｏｓＡ−２ｃ^2＝０

ｂに関する２次方程式の解の公式を使って

　　３ｂ／ｃ＝ｃｏｓＡ±｛ｃｏｓＡ^2＋６｝^1/2

　　ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａｃｏｓＢとおくと

　　（１＋λ）ａ^2−λｃ^2−２λｃａｃｏｓＢ＝０

λ＝２のとき，

　　３ａ^2−２ｃ^2−４ｃａｃｏｓＢ＝０

ａに関する２次方程式の解の公式を使って

　　３ａ／２ｃ＝ｃｏｓＢ±｛ｃｏｓＢ^2＋３／２｝^1/2

などに対して同様の方法を試みたところでしかたないだろう．

　不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

λ＝２のとき，ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2の整数解を代数幾何的（類体論的？）に求めて，二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる方が近道と思われる．

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　まず，ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2で二等辺三角形でＮＧなのは明らか．それから畏友・阪本ひろむ氏が１０００位までの整数を総当たりで調べてくれたが，条件を満たすａ，ｂ，ｃはなかった．

　氏いわく「ユークリッドが√２が無理数であることを証明するために三角形を使ったが，これはそれと同類の問題で，整数解は存在しないのではないか？」

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