縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．等号を満たすためには

　　ａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａ

であることが必要条件になる，

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（Ｑ）二等辺三角形の例があるか？

（Ａ）ａ＝ｃとするとｂ＝ｃ，ｂ＝ｃとするとａ＝ｃとなる（正三角形）．

　　　二等辺三角形（直角二等辺三角形）になることはない．

（Ｑ）直角三角形の例があるか？

（Ａ）ａ^2＋ｃ^2＝ｂ^2とすると（１＋λ）ａ^2−ｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√３ａ，ｂ＝２ａ　　　（３辺の比が１：√３：２）

　　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2とすると（１＋λ）ｂ^2−λｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√（３／２）ｂ，ａ＝√（５／２）ｂ　　　（３辺の比が√２：√３：√５）

（Ｑ）ａ，ｂ，ｃがすべて整数の例があるか？

（Ａ）ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓＣとおくと

　　λａ^2＋ｂ^2−２（１＋λ）ａｂｃｏｓＣ＝０

ｂに関する２次方程式の解の公式を使って

　　ｂ＝（１＋λ）ａｃｏｓＣ±｛（１＋λ）ａｃｏｓＣ｝^2−λａ^2｝^1/2

　　ｂ／ａ＝（１＋λ）ｃｏｓＣ±｛（１＋λ）ｃｏｓＣ｝^2−λ｝^1/2

が有理数でなければならない．

　λ＝２のとき，不定方程式としてはａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　これについては宿題として遺しておくことにする．

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